CAPUT II.

De solutione rationum Zenonis contra mutationes existentes inter contraria vel contradictoria.

utroque : quia contradictoria simul de eo verificantur. Similiter autem objicebant de mutatione quae est inter contraria : quia in eo ex quo est mutatio, non est : quia jam recessum est ab illa per infinitas mutationes, ut supra probatum est. In eo autem ad quod est mutatio, nondum est : quia cum est in illa, quiescit et non mutatur. In neutro etiam non potest : quia unum eorum ponitur ut mutationis principium, alterum ut finis : et mutationi essentialia sunt principium et finis : quia aliter infinita essent : propter quod necessarium est ista inesse rei mutatae, quae est subjectum mutationis. Utrumque autem istorum iterum non potest esse : eo quod contraria non insunt simul eidem. His igitur rationibus probant nullam esse mutationem, neque inter contraria, neque inter contradictoria, dicentes quod si aliquid ex non albo in album mutatur, et in neutro istorum esse potest, ut probatum esse videtur, quia tunc neque album neque non album erit : quod est inconveniens, cum ista sunt mutationes non sibi essentiales : et ideo oportet ipsas inesse ei cui inest immutatio.

T. t. et com. Dicimus igitur quod nobis nullum ac- 83. cidit impossibile ponentibus motum ex consideratione mutationis quae est secundum contradictionem, aut secundum contradictoria. Dicebant enim quidam non esse aliam mutationem inter contradictoria : quia si detur esse mutatio inter ea, tunc id quod mutatur de non esse in esse, aut est in esse, aut in non esse, aut in neutro, aut in utroque. Constat autem quod non est in non esse : quia cum mutatur, jam recessit ab eo : et superius habitum est, quod res quae mutatur, non est in eo ex quo mutatur. Similiter autem neque in esse in quod mutatur : quia esse magis est quies quam mutatio : et ideo res tunc mutata est quando est. Eodem autem modo non potest esse in. neutro : quia contradictorium alterum inesse necesse est. Similiter autem non potest esse in

Solutio autem hujus sophismatis est, quod cum mutatur aliquid, aliquo modo est in utroque : sed magis in eo ad quod motus : ut si aliquid mutetur ex non albo in album, aliquo modo est non album et aliquo modo album, sed tamen magis est album, sicut ostensum est in quinto libro hujus scientiae 1. Non solum enim id dicitur quod in toto, id est, perfecte est album, hoc est, quod habet albedinem in toto a migrationis permixtione separatam : quia album aut non album dicitur aliquando, et non quod totum et perfecte sit hujusmodi, sed quia plures partes, aut magis proprias habet albedinis ; et non est ejusdem intentionis differentiae, quod aliquid non est in hoc totum et perfecte, sicut jam patuit : et sic est res dum mutatur inter

<--- Page Split --->

contraria : quia dum mutatur, in utroque est quodammodo, sed plures accipit continue partes et magis proprias ejus ad quod est motus sive mutatio : neque sequitur ex hoc quod contraria sunt in eodem : quia simpliciter non insunt, neque secundum actum, sed secundum potentiam, sicut in fieri : et hoc modo contraria bene possunt esse in eodem : eo quod unum est sicut exiens, et aliud est sicut intrans : et ideo utrumque est in potentia vel in actu qui potentiae est premixtus, qualem actum superius diximus esse motum. Similiter autem est in mutatione quae est inter contradictoria quae est inter esse et non esse. Hanc igitur mutationem quae vere mutatio et motus est, diximus esse mixtam alterationi : et secundum hunc modum consideratum illud quod mutatur, neque perfecte est in esse, neque perfecte in non esse : et est tamen magis in altero oppositorum, ad quod est mutatio, sed in neutro est totum semper et perfecte. Et haec quidem perfecta est solutio rationum Zenonis : licet quidam dicant hanc esse quaestionem per se, circa motum et mutationem : secundum enim quod est quaestio per se certificans utrum id quod mutatur sit in eo ex quo est motus, vel in eo ad quod, vel in utroque, vel in neutro, tractata est quaestio in quinto libro hujus scientiae : sed secundum quod est inducta non propter se, sed ad destruendum motum et mutationem inducta est hic.

CAPUT III.

De solutione rationum Zenonis contra motum circuli et sphæræ.

Quia autem nos jam enumeravimus omnes fortiores rationes Zenonis quibus destruere nitebatur motum rectum, re-

linquitur ut inducamus rationes ejus quibus visus est destruere motum circularem ut solvamus eas. Sicut enim dixit in 84. his quae moventur motu recto, quod accidit quando quiescunt dum putantur moveri, similiter dixit in circulo et sphæra, et universaliter in omnibus quae moventur. Omnia enim talia per syllogismum accidit quiescere dum putantur moveri. Quæcumque in eodem loco secundum continuum aliquod tempus sunt, et ipsa et partes, illa quiescunt : sed circulariter tantum sphericæ mota secundum continuum tempus in eodem loco sunt et illa et partes : ergo quiescunt. Probat autem Zeno, quod illa quiescunt quæ sunt in eodem loco per continuum tempus et ipsa et partes, per hoc quod illa quæ moventur secundum locum, mutant locum : sicut illa quæ moventur secundum formam, mutant formam. Circulus autem et sphæra circa idem centrum in eodem loco sunt semper : et ideo quiescere ea putant : vel si ponuntur moveri, simul quiescunt et moventur, quod est inconveniens.

Ad hoc autem duplicem dabimus so- 85. lutionem. Solvemus enim primo per interemptionem unius praemissarum sui paralogismi dicentes, quod partes circuli et partes sphæræ nunquam tempore aliquo continuo sunt in eodem loco, sed totum secundum subjectum sit in eodem loco. Secundam autem dabimus solutionem ad rem dicentes, quod in circuli et sphæra totum continue procedit ad alium et ad alium locum. Sed nos distinguimus duplicem totalitatem circuli, et duplicem alietatem loci. Est enim una totalitas circuli secundum materiam et subjectum : et hoc non refertur ad motum circuli et locum, nisi per accidens : accidit enim ea talis motui in quantum forma circularis in ipso. Alia autem est totalis circuli secundum formam convexi et concavi quod est in ipso : eo quod

<--- Page Split --->

figura circularis duas formas habet, quae sunt convexum, et concavum : et secundum hoc si nos imaginati fuerimus, sive in convexo, sive in concavo, quotquot voluerimus puncta quae notantur litterisabcd, et sic de aliis circulis circumductis, describet tot circulos secundum formam, quot puncta fuimus imaginati in concavo vel convexo ejus : et hoc probatur ex hoc quod elevatur a punctum, et redit in ubi in quo elevebatur, tunc complete descriptus est circulus per a punctum : et similiter est de b, redit ad locum ubi elevabatur, et similiter est de c et de omnibus aliis : et cum forma circuli descripta per a punctum est completa, nondum est completa forma circuli descripta per b et sic de aliis : sed una descriptio continue completur post aliam. Constat autem quod in circulatione circuli continue talia puncta sibi succedunt, et unum semper est ut pellens, et alterum ut pulsum post aliud, et ita continue se pellunt et pelluntur : ergo continuo forma descriptionis circulorum formaliter variatur, et præcipue in circulo naturaliter mobili in quo est Oriens et Occidens, et dextrum et sinistrum : ergo procedit continue circulus in formas multorum circulorum, licet subjecto sit unus. Similiter autem est de loco : locus enim motus circuli est supra centrum, ut supra verificavimus. Licet autem hoc idem sit subjecto, tamen formaliter variatur. Locus enim unus formæ circuli descripti, non completur cum descriptione alterius circa centrum. Est enim formaliter locus circularis ubi in quo completur descriptio circuli. Patet igitur quod circulariter totus totalitate formali procedit de loco ad locum, et de circulo ad circulum continuo in motu circuli. Et isti circuli non sunt idem formaliter, sed subjecto : sicut idem numero sunt et per accidens homo et homo musicus : et ideo per se movetur circulariter de loco ad locum, et per accidens

est in loco uno. Et hæc est vera solutio quaestionis t. Falsum est igitur quod quidam dicunt, quod partes mutant locum, et totum manet: quia tunc circulus non movetur nisi per accidens, et non secundum se: falsum est etiam quod dicit Avicenna, quod circuli motus sit secundum situm et non secundum locum motus: quia supra ostendimus quod in situ non est motus nisi per accidens: eo quod est forma indivisibilis. Cujus etiam alia causa esse potest: quia scilicet situs non est sine eo quod est ad aliquid, et in illo non est motus nisi per accidens: verumtamen est quod circulus procedit secundum partes de situ ad situm: sed hoc convenit etiam ei quod movetur secundum motum rectum licet in motis recte sit diversus locus, et situs, et forma, et substantia. In circulariter autem motis locus diversus est secundum formam, et non secundum substantiam: et hoc est proprium eorum quae moventur secundum circulum. Sicut autem diximus de circulo, quod variatur secundum formas circulorum propter puncta orientia et depressa, ita dicimus in sphæra, si signamus super eam semicirculos vel puncta inter polum et polum, ex parte dextre sphæræ, unde est motus. Illi enim actus secundum puncta contractuda variant formaliter et describunt continue sphæras diversas in forma: et cum hoc continue fiat in motu sphæræ, necesse est quod locus descriptionis unius differat formaliter a loco descriptionis alterius per camdem quæ de circulatione est inducta rationem: et ideo tota sphæra procedit de loco ad locum formaliter, licet substantia maneat in eodem loco. Sphæra enim est quod generatur et describitur semicirculo inducto, ut ait Euclides. Hoc enim necessario habet tria puncta immobilia, centrum scilicet, et duos polos. Patet igitur, quod sphæra semper mutatur ab altera sphæralitate in alteram secundum formæ suæ totalitatem,

<--- Page Split --->

et nequaquam quiescet : et sic circulus de una circularitate in aliam secundum continuum motum, qui circulatio vocatur. Sic autem est de omnibus quae moventur in istis quae sunt circulus et sphæra : et hæc aliquando dicuntur in se ipsis moveri, quia non egredituntur eumdem locum secundum subjectum, ut diximus.

CAPUT IV.

De probationibus, quod indivisibile non movetur.

Text et com. His autem habitis et ostensis, conver- 86. temus nos ad indivisibile, quod supponit Zeno moveri si motus esse daretur : et ostendemus quia id est omnino indivisibile, ut punctum, impossibile est moveri. Sed prius faciemus rememorationem de his in parte quae diximus in principio quinti 1, quod concedimus enim quod indivisibile movetur per accidens, sicut motu corporis aut magnitudinis, in qua sicut terminus est indivisibile : et hoc est sicut si aliquis moveatur in navi a navis motu, præter id quod movetur in navi a navis motu, extrinsecum est essentiæ navis : et ideo simile magis est id quod movetur existens in corpore aliquo a corporis illius motu in quo ipsum est, sicut pars movetur motu totius corporis. Hic enim motus in hoc similis est motui accidentium : quia sicut accidentia non moventur ex se, sed motu subjecti, ita neque pars quamdiu conjuncta est toti, ex se movetur, sed motu sui totius. Impartibile autem voco illud quod omnino indivisibile est secundum quantitatem. Est autem hæc distinctio nobis hic necessaria : quia licet pars „non ha-

beat nisi motum totius, tamen motus idem per accidens conveniens ipsi aliquando, sicut in sphæra mota, habet alietatem velocitatis et tarditatis in partibus diversam a motu totius. Motus enim totius uniformis est in toto : et tamen in sphæra maxime indicatur esse diffinita in partes, quia propinquæ centro vel polo, propter hoc quod transeunt parvos circulos in eodem tempore in quo partes remotæ a polo vel centro transeunt magnos, necesse est esse tardioris motus quam illas : et ideo stella juxta polum in Austro et Aquilone tardi sunt motus, et stella juxta æquinocitalem, qui est unus magnorum circulorum sphæræ, sunt velocis motus. Et sic invenitur triplex diversitas in partibus a motu totius : quia quæ sunt intus in centro vel polo, quiescunt : et quæ juxta centrum vel polum, tarde moventur : et sic quæ sunt remota ab utroque polo et centro, velociter moventur : et cum iste motus est per se unius totius et per accidens partium, sicut supra ostendimus, multo magis igitur et in his in quibus motus partium est ejusdem velocitatis cum motu totius, et cum partibus aliis motus attribuitur per se toti, et per accidens partibus. Sicut igitur dicebam prius, non convenit moveri impartibile, cum sphæra sit in alio, nisi sicut movetur in navi sedens navi eunte : per se autem non convenit ipsum moveri.

Si autem dicat aliquis ipsum moveri, Text. et com. 87. deducemus ad impossibile : signetur nomi motus transitus ejus per lineam A B C, cujus pars prima, ex qua est motus, sit A B, et secunda pars, in qua est motus, sit B C, et accipiamus motum generaliter ad motum in loco, et ad motum qui est ex magnitudine in magnitudinem, sicut est motus augmenti et diminuitionis ad motum alterationis, qui est ex

<--- Page Split --->

specie ad speciem, et ad mutationem conjunctam alterationi, quae est inter contradictoria, sicut est generatio et corruptio. Tempus autem proprium et primum hujus motus quo movetur impartibile, sit signatum per litteram b. In isto igitur tempore secundum quod mutatur, si est secundum primum et proprium tempus, necesse est impartibile ipsum aut esse totum in a b ex quo est motus ejus, aut totum esse in b c in quod est motus ejus, aut partim esse in a b et partim esse in b c, quia cum in mutatione non sint nisi haec tria, oportet quod omne quod mutatur, uno istorum modorum se habeat. Sed non potest dari quod tertio modo sit aliquid ipsius in utroque, tam scilicet in eo ex quo est motus, quam in eo ad quod est motus: quia in fine quinti, et in hoc sexto libro probatum est, quod omne quod est partim in uno et partim in alio, est divisibile 1 ; et suppositum est id quod movetur esse indivisibile. Per hoc igitur datum sequitur destructio hypotesis. At vero non potest dari, quod sit motus in b c in quod est motus: quia cum est in eo ad quod est motus, tunc est jam mutatum. Nos autem posuimus ipsum mutari: relinquitur ergo quod totum sit in eo ex quo est motus, hoc est in a b per totum tempus, quod signatur per b. Et sequitur ex illo, quod quiescat et non moveatur: quia nos diximus supra, quod hoc est quiescere quod est in eodem secundum ubi vel formam manere per totum tempus aliquod: datum autem erat quod movetur.

est, quia omne mobile est continuum et divisibile, et continuitas ejus est causa continuitatis motus et temporis, sicut supra diximus : unde non posset esse motus ejus quod est indivisibile, nisi hoc modo tempus componeretur ex ipsis nunc indivisibilibus, et motus ejus ex momentis quae sunt fines motus : quia ejus quod est indivisibile, est motus indivisibilis et spatium indivisibile, et illius mensura non potest esse divisibilis, sed mensura ejus esset indivisibile nunc. Et haec omnia sunt impossibilia : quia, sicut supra probatum est, in nunc non est motus vel quies, sed potius motum esse in nunc : et ideo si tempus esset ex nunc in omnibus, vel nunc esset id quod est indivisibile in motum esse, et nunquam fuisset in moveri : quia moveri non est nisi in tempore, et sic motus esset in fine et nunquam fuisset in via ad finem. Quae omnia sunt impossibilia etiam ad intelligendum, sicut ostensum est supra : neque enim ex ipsis nunc est tempus, neque linea est ex punctis, neque motus ex momentis. Qui enim hoc dicit, quod impartibile movetur, nihil aliud facit, nisi quod dicit motum esse ex momentis, aut lineam ex punctis, aut tempus ex ipsis nunc. Sed hoc impossibile est, cum nullum eorum habeat quantitatem aliquan. Quantum autem non componitur ex non quantis. Haec est igitur ratio una qua probatur indivisibile non moveri.

Amplius autem et ex his quae dicta Text, et com, sunt, manifestum erit hoc idem, scilicet quod punctum et omne aliud indivisibile impossibile est omnino moveri. Omne enim quod movetur super spatium aliquod, impossibile est ut prius accipiat et pertranseat de spatio majus se, quam accipiat et pertranseat de eo spatio minus se, vel aequale sibi. Si ergo punctum vel

<--- Page Split --->

aliud indivisibile movetur, oportet quod pertranseat de eodem spatio minus se, priusquam pertranseat de eodem spatio majus se. Impossibile autem est quod transeat de spatio minus se, cum sit indivisibile: quia si haberet minus se, tunc divisibile esset: ergo oportet quod transeat aequale sibi. Et ex hoc ulterius sequitur, quod linea spatii per quam transit, componatur ex punctis: quia cum id quod fertur, transit per spatium, tunc per aequalia sibi ministrando reddit quantitatem spatii, et ex illis componitur: aequale autem puncto est punctum: et ideo linea componeretur ex punctis. Si autem hoc impossibile est, ut supra ostensum est, tunc etiam impossibilis est positio, ex qua istud sequitur, quod scilicet indivisibile moveatur. Et haec est probatio secunda.

Amplius autem si omne quod movetur, in tempore movetur, sicut saepius probatum est, et nihil movetur in ipso nunc, et omne tempus divisibile esse ostensum est prius, tunc oportet ex quolibet tempore quod est alicujus motus sic accipere aliquod tempus minus illo: eo quod tempus est divisibile in infinitum, et pars semper minor est toto. Hoc igitur modo et hac de causa si indivisibile movetur, oportet quod moveatur in tempore: eo quod omne quod movetur, movetur in tempore: et omne esse divisibile ostensum est prius. Si igitur punctum movetur, oportet quod sit accipere tempus minus illo quod est primum et proprium tempus motus sui: sed hoc est impossibile: quia ex superioribus patet, quod si aliquid movetur in tempore aliquo regulariter, quod ipsum dimidium movetur in mediatee illius temporis: eo quod continuitas motus sicut a prima causa est a continuitate mobilis, in eo quod mobile, et continuitas temporis est a continuitate motus: et sic oporteret quod esset accipere aliquid minus pun-

cto : et sic id quod est indivisibile, esset divisibile in minus, sicut et tempus dividitur in tempora minora se. Hoc enim solo modo sequitur dividi id quod est atomum et indivisibile, si possibile esset, quod moveretur in ipso nunc, quod est atomum. Ejusdem enim rationis est in ipso nunc moveri, quod est indivisibile moveri, et moveri ex ipso, sequitur utrumque dividi, sicut ex prima hujus disputationis ratione ostensum est.

Sunt autem quidam sequentes AviOpinto Avcenne et cennam, et dicentes hanc rationem non sequacium. tenere, quae hic ultimo inducta est: quia non videtur sequi, quod si aliquid integrum movetur in aliquo tempore, non movetur dimidium illius in dimidio illius temporis, sed potius majus illo movetur in tempore minori. Sicut videmus quod magis grave in tempore breviori descendit quam minus grave: et ideo dicunt quod ratio ista non tenet nisi de motu violento, in quo movens est extrinsecum: quia si violentia aliqua movet aliquod totum in tempore determinato, eadem violentia movebit minus illo in tempore breviori: et sic dividi potest omne quod movetur secundum temporis divisionem. Nos autem dicimus, quod in ista improbatio. scientia generaliter loquendum est de comparatione mobilis ad motum et tempus: et ideo ex unius horum divisione sequitur alterius divisio, sicut etiam supra ostensum est: et ideo ad impossibile ductum declarandum sufficit quod ostendebatur, quod si in tempore aliquo aliquid movetur, quod impossibile sit accipere aliud minus illo quod movetur in minori tempore ab eadem virtute movente: et hoc tam in naturali motu quam violento secundum intellectum verum est: et sic est demonstratio ista universalis: et hoc competit huic scientiae, sicut etiam supra docuimus, quod in omni motu est accipere motum velociorem secundum intellectum, et tardiorem similiter: cum tamen hoc de motu contracto ad materiam specialem falsum sit. Est enim liber hic de principiis naturae et

<--- Page Split --->

motus : et ideo nihil in eo demonstratur de specialiter mobili et moto. Sed tamen passiones illae demonstrantur, quae sunt mobilis et motus, in quantum abstrahunt ab omni mobili et motu secundum partem accepto. Est etiam advertendum, quod nos in praehabitis physice demonstravimus per causam physicam et realem, et abhorremus rationes logicas. Si enim logice procedere vellemus ad probandum quod indivisibile non movetur, non oportuisset nos inducere rationes dictas, sed potius cum supra probavimus hanc propositionem, quod omne quod movetur est divisibile, convertissemus ipsam per contrapositionem in hanc, quod hoc quod non est divisibile, non movetur : et habuissemus propositum. Sed tunc nesciremus causam, quare indivisibile non potest moveri, sicut modo scimus.

CAPUT V.

De probationibus, quod nulla mutatio perse sola est infinita.

Sicut autem Zeno supponit indivisibile moveri si esset motus, et ideo non esse motum, quia indivisibile et per indivisibilia non movetur : ita supposuit omnem motum esse infinitum, eo quod esset per infinita si esset motus : et ideo non esse motum dixit : quia motus non est infinitus secundum actum.

sunt in quatuor generibus : et hoc quidem manifestum est de qualibet mutatione quae est secundum formam, sive illa sit substantialis, sive accidentalis : quia omnis talis mutatio est inter determinatos terminos, quorum unus est principium ex quo est mutatio, et alter est finis ad quem ipsa eadem est mutatio : et sic omnis mutatio est ex quodam in quiddam. Omne autem quod sic est inter principium et finem, finitum est ex utraque parte. Si ergo omnis mutatio est de forma ad formam, ex utraque parte finita est, sive sit in contradictione, sive in contrariis : ergo illae mutationes quae sunt in contradictione terminos habent, affirmationem et negationem : ut generationis quidem quae est ex non esse, terminus in quo stat, est esse : et corruptionis quae est ex esse, terminus in quem stat, est non esse. Earum autem mutationum quae sunt inter contraria, sicut alterationum omnium termini, sunt contraria : illa enim ultima sunt alterationum omnium : quia alterationes stant in illis : ergo omnis alterationis est aliquod principium determinatum, et aliquod determinatum ultimum . Omnis enim alteratio est ex quibusdam contrariis. Similiter autem se habet in augmento et decremento. Diximus enim in quinto libro hujus 1, quod perfectio quantitatis secundum naturam est terminus augmenti, et quod stat in illo. Omne enim quod naturaliter est, habet quantitatem in minimo, et maximo, et medio secundum naturam, sicut embryones minimi et maximi determinati sunt in natura. Similiter homines perfecti sunt minimi, maximi, et medii secundum speciem hominis. Et si inveniatur quantitas sive in embryonibus sive in hominibus major vel minor quam determinatum est in specie embryonum vel hominum, erit innaturalis res, et non salvata, sed ad corruptionem tendens, vel corrupta. Perfectio enim quantitatis est illa

<--- Page Split --->

quantitas in qua virtutes quanti perficere possunt expedite suas operationes. Diminutio autem est, 'quae deficit ab hac sic determinata quantitate distantia determinata in natura : et sicut ex hoc diminuitur, corrumpitur quod diminuitur. Patet igitur quod ille, etiam mutationes quae sunt in quantitate, finite sunt secundum principium et ultimum.

Sed de loci mutatione non hoc modo probari potest quod sit finita : quia non omnis loci mutatio etiam quae recta est, inter contraria est, sicut patet in motibus processivis animalium, quae non sunt inter contraria. Est tamen alia via ad hoc quod probetur loci mutatio recta non esse infinita, sicut aliquid impossibile est decidi vel dividi, quod licet secundum genus suum decidi vel dividi possit, tamen in specie acceptum secundum quodcumque punctum acceptum in ipso dividi non potest. Impossibile enim decidi sive dividi dicitur multipliciter aliquid ejus ex genere suo indecisibile sive indivisibile est, sicut vox, etc., quae non sunt de genere quantitatis. Aliquid autem ex genere suo decisibile est sive divisibile, et tamen ex sua specie nunquam decidi vel dividi potest : quia decisio ejus nunquam potest incipere, sicut cœelum cujus genus corpus est. Et scimus quoniam omne corpus secundum genus suum est decisibile, et tamen cœelum propter formam suam nunquam recipiet divisionem secundum aliquod punctum acceptum in ipso : et hoc dicimus impossibile dividi, eo quod divisio ejus nunquam incipere potest. Similiter autem dicemus impossibile mutari : quia aliquid impossibile est mutari, sicut diximus de impartibilibus. Aliquid autem impossibile mutari non omnino, sed sic, sicut ponitur mutari, hoc est, quia mutatio ejus haec quae attribuitur ei, nunquam potest incipere : et non ita dicimus ipsum immutabile quod secundum

suum genus immutabile sit. Omni autem eodem modo distinguimus hanc, impossibile est aliquid fieri. Dicimus secundum prædicta, quod impossibile est aliquid mutari in hoc in quod impossibile est ipsum mutari : hoc etiam secundum suum genus mutabile dicatur : sed in infinitum impossibile est mutari : ergo impossibile est mutationem rectam esse quae sit in infinitum. Quod autem aliquid in infinitum impossibile est mutari, probatur ex hoc quod nihil est actu infinitum : et ideo mutatio quae est in infinitum est in non finem : sed quod est in non finem, in nihil est : ergo mutatio quae est in infinitum, nihil est : et cum in secundo hujus scientiæ probatum sit quod omnis moventis est aliquis finis, sequitur necessario quod mutatio quæ est in infinitum, non habet motorem : et si non habet motorem, nunquam incipiet : ergo mutatio quæ est in infinitum, nunquam incipiet : et si nunquam incipiet, impossibile est eam esse : ergo mutationem localem rectam infinitam impossibile est esse. Si igitur omne quod fertur recte, semper mutatur in aliquid determinatum, non erit localis motus existens rectus aliquis unus numero infinitus : non enim impossibile est transire infinita : et ideo aliquando finietur talis mutatio localis.

Manifestum est igitur ex dictis, quod Text et com. nulla mutatio recta est infinita, ita quod 93. nullis terminis finiatur. Sed si sic aliqua infinita convenit esse, est hoc ex utroque, scilicet ex principio, et fine, et non ex carentia finis solius, sicut est in circulatione quæ caret et principio et fine : quia adhuc in futuro considerare habebimus si est in quodam tempore contingere unum et eumdem motum localem esse infinitum. Nihil enim fortasse prohibet infinitatem esse in motibus, quando non accipitur motus unus et idem, sed successio motuum, ut si post loci mutatio-

<--- Page Split --->

nem accipiatur alteratio, et post alterationem generatio, et iterum post generationem augmentum, vel e converso. Si enim talis sit successio continua motuum, in toto tempore erit motus, sed ille non est unus et idem numero motus : quia unus numero motus non componitur ex diversis in genere omnibus motibus : et de hoc in secundo de genera-

tione et corruptione tractabimus, quando causam infinitæ generationis reddemus. Patet igitur ex habitis, quod unum et eumdem motum numero non convenit in infinitum fieri præter unum solum motum qui est motus circulationis, sicut in libro octavo hujus scientiæ declarabimus.

<--- Page Split --->

LIBER

DE INDIVISIBILIBUS LINEIS, QUI FACIT AD SCIENTIAM LIBRI SEXTI PHYSICORUM.

CAPUT I.

De introductione libri, et de rationibus eorum qui ponebant lineas indivisibiles.

Licet autem de Philosophis non sit scientia de lineis indivisibilibus, quia tamen Zenonis in ea inducuntur rationes, et ex lineis indivisibilibus dicebatur componi corpus physicum absolute in genere consideratum prout non contrahitur adaliquod corpus in specie, ideo videtur nobis hic ponenda breviter esse ista disputatio sub tractatu uno quo sic procedemus : quia scilicet primo ostendemus rationes eorum omnes qui indivisibiles lineas esse dicebant, deinde solvemus easdem, et tandem abundabimus rationibus contra eos : et sequemur Aristotelem in libro suo de indivisibilibus lineis, quia hoc quod ipse dixit, sufficit nobis in hac scientia.

Scias autem quod multi Antiquorum Documentum, concordabant in hoc, quod linea non componeretur ex punctis, et hoc etiam corpus : tamen dicebant corpora mathematica componi ex corporibus atomis, et corpora atoma componi ex indivisibilibus superficiebus, et superficies indivisibiles componi ex indivisibilibus lineis, et lineam constitui ex fluxu puncti, et non ex compositione ex punctis : eo quod linea primum est in genere quanti continui. Et tales primi fuerunt Democritus et collega ejus Leucippus. Ante hos fuerunt qui dicerent lineam componi ex punctis, sicut Pythagoras et sui sequaces. Quoad eos igitur qui dicunt prima componentia continui esse lineas indivisibiles, non sufficit prima pars sexti Physicorum, in qua probatur quod componentia prima non sunt puncta, vel nunc, vel momenta, sed quoad rem sufficiat : et ideo inducimus hic istam disputationem, ut perfecte etiam hominibus satisfiat quando per omnem modum confutati fuerunt adversarii veritatis.

Quæremus igitur, utrum sint indivisibiles lineæ ? et utrum universaliter aliquid sit indivisibile primum componens omne quantum, sicut dicunt quidam

<--- Page Split --->

Philosophorum, quorum istae fuerunt rationes. Dicunt enim quod in omni continuo cadit parvum et magnum esse. Et hujus causa est, quia parvum causatur ex pauco, et partibus componentibus : magnum autem causatur ex multo in partibus ejusdem. Constat autem quod omne magnum dividitur in parva, sed parvum est quod habet paucas partes : ergo ea in quae dividitur magnum, paucas habent partes componentes. Paucæ autem partes componentes non sunt infinitæ, sed finitæ per parvum numerum : quia id quod habet infinitas partes componentes, non habet paucas partes, sed multas : et datum est quod parvum habet paucas partes : ergo habet eas finitas. Omne autem compositum ex finitis, dividitur in ea quæ sunt finita : et non potest dividi ultra ea, sicut patet in divisione omnis numeri finiti : ergo parvi continui stat divisio in his finitis ex quibus componitur : componitur autem ex primis quantis : et illa sunt lineæ : ergo stat divisio ejus in lineis : sed illud est indivisibile in quo stat divisio, sicut probatur per unitatem in qua stat divisio numeri : ergo illa in quibus stat divisio parvi continui, sunt indivisibiles lineæ : ergo sunt lineæ indivisibiles, et sunt in omnibus superficiebus et corporibus continui : est ergo in quolibet quanto continuo aliquod primum impartibile componens ipsum : propter hoc quod parvum pars est magni, et parvum componitur ex paucis.

Amplius si est idea lineæ, et idea est prima eorum quæ sunt in ratione una, tunc oportet ponere indivisibiles esse lineas : constat enim per doctrinam secundi metaphysicæ 1, quod omne genus causæ reducitur ad unum genus primum in genere illo : ergo omnes lineæ formali ratione convenientes reducentur ad unum primum, quod primum formale est in genere illo. Est autem illud in quo sunt omnes lineæ formaliter, sicut in causa

præhabente in se linearum rationem : et hæc est idea ad quam fiunt omnes lineæ.

Additur autem his, quod in omni continuo partes sunt priores toto naturaliter, cum totum componitur ex partibus. Undecumque autem unum præcedit aliud naturaliter, est venire ad unum primum quod nihil præcedit in ordine illo : ergo in partibus continui est venire ad unum primum ante quod nihil est in natura continuorum, et cui primo convenit ratio continui idealiter ad omnia alia : sed ante quod nihil est, illud est indivisibile: ergo in omnibus continui partibus aliquid est divisibile in partibus a quo ratio quantitatis derivatur in omnia sequentia. Hoc autem cum sit pars continui, continuum est, quia aliter non esse ideale : ergo oportet ponere indivisibiles lineas primas. Et hæc est ratio cui maxime innitebantur Antiqui et videbatur eis esse efficacissima. Secundum autem eumdem modum probatur resolutio tetragoni et omnium figurarum ad lineas, quia manifestum est quod quædam in genere continui accidit his esse priora : et similiter est de omni superficie, et omni corpore propter eamdem causam.

Ulterius autem Democritus et Leucippus probant, quod indivisibile non solum necesse est esse in intelligibilibus quæ sunt mathematica, quæ secundum rationem diffinitivam sunt abstracta et separata a sensibus, sed etiam quod in sensibus est aliquod primum atomum ex quo cætera componuntur. Probant autem ex hoc quod elementa sunt corpora quædam. Elementum autem est, ut in Cælo et Mundo probatur 2, quod est primum in compositione, et non dividitur secundum formam in aliam formam : ergo prima componentia sunt elementa omnium : partes autem prius sunt componentes totum : ergo oportet quod aliquæ eorum sint ita primæ quod non dividantur, quia non dividi est de ratione elementi: ergo aliquis utique erit primus ignis de

<--- Page Split --->

indivisibilibus : et universaliter sic se habebit in omnibus corporibus elementorum : ergo, sicut dictum est, non solum in intellectibus mathematicis sunt indivisibilia prima, sed etiam in sensibilibus.

Amplius autem ex Zenonis ratione hoc probari videtur, quod sit aliqua magnitudo, quæ non est punctum, indivisibilis et impartibilis. Constat enim quod impossibile est, quod aliquid contingat tangendo infinita in tempore finito, ita quod tangat ea non simul secundum unumquodque signum, sive sigillatim unumquodque infinitorum signando tangat. Omne enim quod movetur quocumque modo motus, necesse est prius ad medium tangere spatium quam ad extremum. Ejus autem quod non est impartibile, sed divisibile, habet omnino universaliter secundum omnes partes medium : quia omne divisibile habet medium inter extrema sua. Si autem id quod fertur in linea, contingit infinita media quæ sunt linea in tempore finito in quo ponitur transire lineam : et dicamus id quod in dictum est 1, quod velocius est quod in æquali tempore plus perficit de spatio : tunc convenit quod id quod velocissimum est, in tempore finito transibit media infinita in linea. Constat autem quod nihil est adeo velox sicut motus mentis sive intellectus pertransiens per media per quæ est motus. Si ergo mens in tempore finito accipiens partes medias spatii transeat infinitas, contingeret ea mentis acie secundum unumquodque sigillatim : tunc erit motus per infinita in tempore finito: ergo si istud est verum, contingere est idem quod numerare, accidet mentem numerare infinita in tempore finito. Si autem hoc est possibile, tunc non erunt infinita media in spatio : ergo erunt ibi finita in quibus stat divisio et numerus : hæc autem sunt indivisibiles lineæ : ergo erunt indivisibiles lineæ prima componentia continuum.

Amplius autem idem probari videtur ex his quæ dicuntur in disciplinis mathematicis, et præcipue in X Geometriæ. Ex his enim quæ ibi dicuntur, sequitur, ut aiunt, aliquam mensuram esse indivisibilem et primam. Ibi enim dicitur, quod commensurabiles lineæ sunt : omnes autem commensurabiles una et eadem mensura mensurantur : ergo sunt omnes commensurabiles mensuratae : omnium autem commensuratorum erit alia longitudo mensurans necessario, qua mensurantur omnes commensuratae : igitur illa non erit mensurata, sed erit prima mensura : prima autem mensura non habet ante se alias : ergo ipsa ante se nullam habebit mensuram : ergo erit linea indivisibilis : quia si esset divisibilis, tunc ante se haberet mensuram : unde si diceretur esse divisibilis, tunc oporteret dare quod partes suæ etiam essent alicujus mensuræ quæ mensuraret eas : quia partes commensurabiles sunt toti, ita quod eadem aliqua mensura mensurantur. Hoc enim, sicut diximus in geometricis, commensurabile vocatur. Ergo illæ mensuræ erant ad aliquas partes parvas in proportione dupli ad medium : quia si pars omnis dividitur in duo, et longitudo est alia quæ mensuravit partem, oportet quod illa se habeat ad medium illius partis in proportione dupli ad dimidium. Hoc autem est impossibile, si illud sit mensura prima commensurabilium : illa enim quæ mensura prima est commensurabilium, non habet ante se mensuram minorem se. Ergo similiter sic ista non habet ante se aliam, ita etiam omnes mensuratae ab ipsa prima longitudine, sicut omnes lineæ mensurantur, componitur ex impartibilibus primis lineis, in quibus prima ratio mensuræ et longitudinis salvatur. Idem autem sequitur in planis superficiebus. Omnia enim hæc commensurabilia sunt ad invicem. Et ratio primæ commensurationis est, quæ secundum numerum ali-

<--- Page Split --->

quem commensurate una et eadem mensura mensurantur. Constat autem quod omnes lineæ commensurabiles omnes sunt mensurate : quia quae una et eadem mensura mensurantur commensurate sunt a dictis lineis quæ sunt impartibiles: ergo prima mensura ipsorum erit impartibilis : ergo ponende sunt esse indivisibiles lineæ.

CAPUT II.

te sint circa lineam, sicut affirmatio et negatio, et non conveniant lineis indivisibilibus : constat lineas indivisibiles nullas esse, quia secundum differentias inductas nullas habebunt naturas convenientes lineis geometricis, de quibus demonstrationes fiunt. Sed si habebunt eas, tunc non habebunt eas nisi ad invicem, ita scilicet ut una indivisibilis in comparatione ad aliam indivisibilem dicatur rationalis, vel muta, vel commensuralis, vel incommensurabilis, vel communicans, vel incommunicans, et sic de aliis decem differentiis linearum.

De solutione rationum inductarum de lineis indivisibilibus.

Sed his rationibus obviantes, primo ostendemus inconveniens esse quod dicitur, quod si aliquid quod est mensuræ differentia vel passio, dividit lineam quamdam separatam et indivisibilem, sicut jam dictum est, sicut dividitur linea in rectam, et obliquam, et commensurabilem, et incommensurabilem : tunc absque dubio illud quod dividit hanc lineam indivisibilem in differentias, non erit aliqua differentiarum quæ ponitur in geometria. Quædam enim in libro decimo Geometriæ dicuntur lineæ dicibiles sive rationales, quibus positis et datis ratiocinantur. Quædam autem dicuntur indicibiles, sive mutæ et irrationales, quibus positis et datis ratiocinari non possumus. Et hoc modo dividuntur lineæ in decem ordines in geometria, sicut patet intuenti decimum Euclidis : quia hic longum esset ista prosequi : et etiam hic non indigemus eis, nisi quod sciamus quod illa quæ dividunt lineas in geometricis, non possunt dividere lineas indivisibiles, neque convenire eis. Cum ergo illa quæ lineam dividunt ex duobus nominibus sub abcisione sive disjunctione conveniant omnibus lineis : eo quod immedia-

His autem habitis, dicamus primo ad primum respondentes, quod non est necessarium quod dicunt, scilicet quod illud quod sit parvum vel paucum, quod infinitas habeat divisiones partium. Et est instantia eorum dicti in proposito : quia in alio non invenitur in quo instantia fieri posset. Nos enim dicendo de loco et de magnitudinibus sensibilibus quas dicunt esse compositas, quod sint parva et pauca, dicimus quando congruit hoc dicere de quantitate eorum : non tamen dicimus sicut illi, quod hoc sit eo quod habeat paucas partes finitas numero et potentia. Sed dicimus quod habet infinitas potentia, licet paucas habeat actu : et hoc ipsi distinguere nesciverunt. Amplius autem si, ut aiunt illi, in lineis compositis sunt quædam lineæ de his indivisibilibus quas ipsi dicunt esse : tunc de illis indivisibilibus dicitur parvum et paucum, cum tamen in linea illa sint infinita puncta secundum eos actu. Lineæ enim divisio etiamsi non concedatur dividi in lineas, tamen est secundum puncta : et est divisio ejus secundum unam similitudinem secundum qualecumque punctum : quia una est ratio divisionis in quolibet : et ideo secundum quodcumque divisibile est linea : ergo infinitas habebit divisiones linea secundum positionem earum, sicut prius. Omnis autem linea utique non indivisibilis est : et tamen quædam secundum istos dividuntur in parvas, et sunt infini-

<--- Page Split --->

Aller suptæ per divisionem, et tamen paucæ. Superordinatum est jam a nobis omnem lineam dividi, et nullam lineam indivisibilem esse. Ergo nihil est quod dicunt de parvo et pauco.

Amplius omne magnum ex parvis quibusdam componitur : propter quam rationem etiam magnum et parvum non dicuntur opposita esse secundum rem : nihil igitur erit magnum : vel oportet dicere, quod ex prædeterminatis quibusdam parvis sit compositum : et si tunc parvum terminatas divisiones habet, ut dicunt, tunc aut nihil erit magnum secundum eos, aut oportet dicere quod illud non sit magnum quod habet divisiones partium terminatas : quia hæc est ratio parvi secundum eos. Omne enim totum habet partium divisiones sicut et partes habent suarum partium divisiones : et ideo si parva sunt partes magni, tunc oportet quod magnum habeat divisiones partium parvi : divisiones parvi autem sunt finitæ, ut dicunt : igitur divisiones magni sunt finitæ : sed hæc est ratio parvi : ergo parvum est magnum : vel oportet dicere quod magnum non componitur ex parvis, si ipsi dicunt quod rationale est parvum habere partes determinatas et finitas, et magnum quod componitur ex parvo significant habere divisiones partium infinitas : quare manifestum est quod secundum rei veritatem, non potest dici magnum et parvum in hoc quod est determinatas et finitas habere partes, et in hoc quod est habere partes indeterminatas et finitas. Si autem induxit eos ad dicendum in lineis esse parvum ex paucis et finitis partibus esse, et videtur eis hoc esse dignum ad dicendum istud, quod in numeris vident paucum habere partes et divisiones habere terminatas, hoc est stultum : quia non sunt eadem principia generationis ex quibus est discretum, sicut numerus, et ex quibus est continuum, ut linea. In numeris enim ex indivisibilibus unitatibus aggregatis est generatio numeri, et illud impartibile est quoddam determi-

natum in genere discreti : et ideo omnis numerus qui non est infinitus, terminatas et finitas habet divisiones. In magnitudinibus autem non est similis compositio, et ideo in his divisio procedit in infinitum.

Non est autem simile etiam in formis et speciebus quas dicunt Platonici, et tamen illi qui ponunt species esse ideas horum, accipiunt axioma quod est minus forte quam illud quod oppositum est : et secundum quemdam modum interimunt indivisibiles lineas per eadem quae ostendere intendunt eas esse : et e converso per hanc rationem species et ideæ interimuntur : et ita utrumque interimitur per reliquum. Si enim sunt ideæ, ut dicunt, separatæ, illas impossibile est intrinsecas rebus esse : ergo non sunt partes linearum, ut dicunt : et ita per eadem interimunt species, per quæ probare volunt : et e converso, si puncta in lineis sunt indivisibiles partes earum, tunc impossibile est quod sint species ideales eodem modo se habentes : idea enim est una unius : sed unius et ejusdem parvi plures suht indivisibiles lineæ, licet finitæ : et ideo istud axioma nihil habet fortitudinis.

Rursus autem dicere dignum esse, quod indivisibilia quaedam sint prima corporalium elementorum, est stultum : quamvis enim rursus quidam sic enuntient, tamen ad subjectam intentionem, hoc est, propositum, problema sumunt id quod est ex principio. Id enim quod a principio probandum est, hoc est, utrum sint indivisibilia quaedam ex quibus continuum est : et hoc ipsi sumunt in corporalibus elementis esse. Magis est autem contra eos qui quanto magis ipsi sumunt id quod est ex principio, et non possunt probare intentum vera probatione : tanto magis videbitur verum esse oppositum, scilicet quod omne corpus compositum sit et divisibile tripliciter, scilicet secundum linearum longitudines quae sunt in ipso, et secundum molem profundi quod est in ipso, et secundum

<--- Page Split --->

distantiam latitudinis superficiei quae est in ipso.

Zenonis autem ratio non concordat ad propositam intentionem in hoc quod dicit, quod id quod est latum sive motum per spatium, non tangat infinita in tempore terminato et finito. Sic enim et secundum eumdem modum et tempus et longitudo habent se ad esse infinitum, et esse finitum et terminatum, et tantas et tales habet divisiones unum sicut alterum : sicut etiam supra diximus in sexto Physicorum.

Neque etiam utique verum est quod dicunt, quod hoc sit numerare quod est singulum infinitorum tangere secundum mentem, nisi actu tangeret. Tangit enim ea mens in potentia divisionis tantum : et ideo hoc non est ea numerare : quia ea quae numerantur tactu mentis, secundum actum sunt finita. Dubitatio enim est, utrum etiam quis intelliget hoc modo secundum mentem quod contingat infinita. Est enim forte hoc impossibile : sed alibi, hoc est, in tertio de Anima habet dici 1, quia absque dubio nunquam intelligens numerando pertransit infinita. Non enim est motio mentis per intellectum exiens spatium continuum et sibi subjectum super quod moveatur, sicut exigit id quod fertur corporaliter secundum locum : sed potius mentis motio est per intentiones specierum citra. Et si concedatur mens sic pertransire per continuum, hoc est numerare partes numeri secundum actum. Numerare enim est quod est cum scientia rerum secundum actum diversarum. Spatium autem non dividitur nisi potentia.

Sed fortassis inconveniens est quando aliquis non potest solvere rationem aliquam, quod cedat et serviat d<bilibus positionibus quae sunt contra sensum, et quod aliqui velint decipere seipsos contra hoc quod nuntiat eis sensus. Decipiunt enim isti seipsos secundum majores

deceptiones, quam sint illae quas timent, et adjuvant impotentiam suam ut fiat fortior. Quando enim Zeno nescit solvere qualiter id quod fertur, transit spatium prius tangendo medium quam extremum. Et quando Democritus nescit rationem illam solvere, quod prima componentia sint indivisibilia. Negat Zeno motum, quod est majus inconveniens. Et ponit Democritus corpora indivisibilia vel lineas, quod est magis inconveniens quam id quod incidere timet. Qualiter autem solvantur rationes Zenonis, in sexto Physicorum supra scriptum est. Democriti autem ratio in libro Perigeneos habebit solutionem 2. Quod autem objiciunt per geometricas rationes de lineis commensurabilibus, quod scilicet omnes uno et eodem mensurantur, sophisticum est, et nequaquam concordat cum eis quae in mathematicis supponuntur. Non enim sic supponunt mathematici, quod lineae indivisibiles sint quae mensurant lineas commensurabiles : neque utile esset eis ad suas demonstrationes, cum non demonstrent nisi de lineis divisibilibus in lineas. Simul etiam cum dictis et etiam totum contrarium supponunt mathematici, et contrario modo omnem quidem lineam dicunt fieri, hoc est, divisibilem in partes divisibiles. Convenit autem etiam datis lineis indivisibilibus quas ponunt esse propter commensurationem adhuc significare lineam secundum quam commensuratio fit. Non enim probatur in geometricis commensurabilitas linearum per lineam indivisibilem, sed potius per lineam divisibilem in infinitum : et sic inutilis est positio linearum indivisibilium, ex quo positis illis adhuc inquiritur de aliis secundum quas fiat commensuratio. Quare hoc quod dicunt, ridiculum est : quia secundum opinionem eorum etiam ex quibus dicunt dicentes se ostendere, probatur quod a veritate declinant se ad

<--- Page Split --->

Deinde etiam si sunt indivisibiles lineae, inter omnes lineae erunt commensurabiles et communicantes. Omnes enim mensurabuntur ab indivisibilibus lineis, sive longitudine sint commensurabilisive potentia et non communicant- , sine commensurabiles et communicantes. Dicuntur autem lineae communicantes sive commensurabiles in longitudine, ut habetur in X Euclidis, quibus est una quantitas communis eas numerans. Communicates autem et commensurabiles potentia dicuntur, quarum superficiem quadratam una superficies communis numeret. Si autem sunt indivisibiles lineae, ut isti dicunt,omnes erunt commensurabiles, per hoc quod indivisiles lineae, ut isti dicunt, omnes sunt aequales : eo quod una non potest esse major vel minor alia, cum sint indivisibiles : ergo et potentia sunt commensurabiles : quia si quadrata fiat ex eis, numerat superficies illas alia superficies aliqua ex indivisibilibus lineis constituta per hoc quod sit aequalis illis. Si autem hoc detur, tetragonum constitutum ex indivisibilibus erit divisibile: et hoc non est intelligibile, qualiter divisibile componatur ex indivisibilibus. Necesse est autem dividi tetragonum quod aliqua superficie numeratur. Omne enim quod numeratur, dividitur : quia sicut diximus in prehabitis in tertio Physicorum, divisio est causa numeri, quia per numerum cognoscimus divisionem continui.

ductu lineæ indivisibilis in pedalem circumponatur superficiei quadrata : quæ sit ex ductu lineæ bipedalis in soipsam, minorem fœt latitudinem, quam si sola pedalis in se ducta eidem quadratae superficiei circumponeretur : tunc sequitur necessario, quod id quod producitur ab indivisibili linea, minus sit quam impartibile. Et hoc sic declaratur : ponamus lineam bipedalem in se duci, et quadratum ex ea constitui, sicut docetur in secundo Euclidis. Fiat autem aliud quadratum ex ductu pedalis in se, et circumponatur quadrato primo bipedalis lineæ : constat quod constituitur major latitudo ex duobus quadratis sibi circumpositis et conjunctis quam fuerat latitudo unius solius. Est autem suppositio geometrica in secundo Euclidis, quod omnis linea in se et in quamlibet aliam duci potest, et ex producta parallelogramnum constitui. Si ergo aliqua est linea indivisibilis ex indivisibili linea et pedali in se ductis constituetur quadrangula superficies æquidistantium linearum, quæ superficies parallelogrammum vocatur. Cum autem omnes quadrangulæ superficies æquidistantium linearum latitudo tanta sit, quanta est mensura laterum in se invicem ductorum, oportet quod quadrangulum quod fit ex ductu pedalis in indivisibilem lineam, indivisibilis sit latitudinis et nullius : illud autem quod nullius est latitudinis, circumpositum cuicumque quadrato, non facit latitudinem majorem, sed potius minorem quam si sola linea bipedalis in se duceretur : ergo quadratum constitutum ex indivisibili linea et pedali minus est quam ipsa linea impartibilis : quia linea impartibilis ponitur finitæ esse quantitatis et primæ : productum autem nullius est quantitatis. Hoc ita dato, si quadrangulum minorem habet quantitatem quam impartibilis linea, ergo aliquid est minus impartibili : ergo linea impartibilis dividitur : et hoc est impossibile, sicut sæpe in sexto libro Physicorum ostendimus.

Amplius si ex quibuslibet tribus datis

<--- Page Split --->

rectis lineis constituitur trigonum, sicut probatur ex primo Euclidis, tunc etiam ex tribus indivisibilibus constituetur triangulus. Hoc habito procedatur ulterius: quia in omni triangulo isopleuro, hoc est, qui duo æqua habetlatera, cathecus cadit in mediam lineam, quæ est inter duas: quia in eo linea recta vocatur cathecus. Erectam autem dicimus inter inferiorem et superiorem. Hypothenusa autem est descendens a summo catheci, et basis est jacens subtus cathecum: tota ergo hæc dispositio etiam est lineis indivisibilibus trianguli: et hoc est impossibile etiam fingere volenti: quia indivisibile cum indivisibili nullum constituit angulum, nec indivisibile est medium duorum indivisibilium, nec indivisibile erigitur super indivisibile, nec indivisibile inæquale est indivisibili, sicut isopleurus duo habet latera æqualia, et tertium habet inæquale.

Amplius in geometria probatum est, quod si fiat tetragonum, et dividatur per diametrum incidentem tetragonum, illud quadratum quod producitur ex diametro, est æquale quadrato catheci illius trianguli qui fit ex duabus collectis quadrati et diametro et medietate diametri. Totum enim quadratum quod fit ex diametro, est inæquale duobus quadratis, quæ fiunt ex duabus costis quadrati æqualibus, sicut probatur ex penultima et ultima propositione Euclidis: ergo illud quod fit ex medietate diametri, æquale est quadrato unius costæ quadrati: et id quod fit ex altero, æquale est alteri quadrato quod fit ex costa secunda: ergo id quod fit ex una costa et medietate diametri tantum, est sicut id quod fit ex duabus costis quadrati. Si ergo omnia hæc vera sunt, omnia hæc necesse est etiam accidere in quadrato et diametro quæ fiunt ex lineis indivisibilibus, hoc est quod si tetragonum impartibilium laterum componatur, et diameter in eo indivisibilis producatur per lineam incidentem eum per medium, fit cathecus ductus aliquod latus tetragoni, tunc opor-

tet quod costa, hoc est, quadratum costæ possit per æqualitatem in cathecum, hoc est, in quadratum catheci et in medietatem diametri. Utrisque enim quadratis divisim sumptis, et non conjunctim, æquale est quadratum costæ quadrati : et si hoc, tunc linea indivisibilis non est minima : quia expresse quadratum unius majus est quadrato alterius. Quadratum edim diametrum dupli est ad quadratum costæ. Si autem non est minima, tunc neque divisibilis est, neque prima : et etiam si dicatur indivisibilis, tunc non est verum quod duplum sit quadratum quod producitur a diametro ad quadratum alterius indivisibilis, quæ est costa alterius. Si enim dicatur duplum, tunc ablato a diametro et æquali quadrato quod æquatur quadrato costæ, id quod relinquitur erit minus quam prius fuit : fuit autem prius linea indivisibilis : ergo id quod remanet, minus est indivisibili : quod non est intelligibile. Si enim æqualiter æqualia costis addantur diametro, tunc absque dubio quadratum suum erit quadruplum unius laterum : ex se enim est duplum, et ei additur quod est æquale costis : et tunc erit quadruplum ad unamquamque costarum. Hæc igitur sunt impossibilia quæ sequuntur contra hanc opinionem : et de facili poterit aliquis contra eos conducere alia et alia impossibilia infinita : quia omnibus, sicut universaliter dicere possumus, quæ in mathematicis sunt, contrariantur ea quæ isti adversarii veritatis dicunt.

CAPUT IV.

In quo inducuntur contra lineas indivisibiles rationes sumptæ ex natura divisionis.

Possumus autem ad idem aliter adducere impossibilia sumptæ ex his quæ

<--- Page Split --->

sunt de ratione lineæ. Est enim ejus quod est impartibile, non nisi unus, hoc est, secundum unum contactus. Sed linea in duobus contingit : et ideo duos contactus habet, quia linea indivisibilis tangit totum. Indivisibile enim omne si tangit, oportet quod tangat totum, sicut in principio sexti Physicorum probatum est. Sed linea quæ est longitudo inter duo puncta, tangit e contrario : quia secundum duos terminos tangit, et non tota totam. Amplius linea talis est qualem dicunt, opposita alii non facit majorem lineam : eo quod impartibilia composita non faciunt majus aliquid. Linea autem vera composita lineæ facit majus, sicut omne quantum adveniens quanto. Amplius ex duobus impartibilibus nihil potest fieri continuum, ut probatum est in sexto : eo quod omne continuum oportet habere plura in sui natura quam impartibilia. Omnis autem linea una est continua circa indivisibile : quia ad indivisibile continuans et terminans in suis partibus continuatur. Ergo nulla linea una est indivisibilis. Amplius si omnis linea dividitur de indivisibili linea quæ est in ipsa, sive dividatur æqualiter, sive inæqualiter, hoc est, per inæqualia, et non sit linea aliqua ex tribus indivisibilibus, neque universaliter ex superfluis indivisibilibus, sed ex duabus, propter quod ultima divisio stat in duo facta æqualia. Tunc quæramus ab istis, quare dicant lineam indivisibilem esse ? Similiter autem si dicamus lineam dividi in duas partes : eo quod omnis linea composita ex superfluis dividitur : tunc eadem restat quæstio, quare dicunt indivisibiles esse lineas ? et dicitur ex superfluis dividi, quia dividitur in infinitum : eo quod in tali divisione semper aliquid dividendum superfluit divisioni.

Si autem dicant quod non omnis linea dividitur tantum in duas partes, sed illa sola tantum dividitur in duas partes quæ est ex perfectis lineis, hoc est, ex lineis quæ perfectam habent rationem linea-

rum, hoc est, quod sint indivisibiles : tunc adhuc restat quæstio, qualiter aliqua linea sit indivisibilis ? cum sit species quantitatis quæ divisibilis est semper. Linea enim divisa in duas partes, dividetur in ea quæcumque tantum possibile est iterum dividere, sicut evidenter probatur per rationem continui, quæ est, quod continuum est quod dividitur sempiterna et infinita divisione. Sic ergo indivisibilis dividetur, si dabitur quod linea ex perfectis lineis constans dividitur in perfectas lineas, et illæ ulterius, et nunquam stat divisio : ergo indivisibiles lineæ sic dividentur. Si autem dicatur quod linea in duas partes per æqualia divisibilis est, illa quæ constat ex perfectis, tamen illa quæ constat ex imperfectis lineis, quæ sunt elementa perfectarum linearum, et sunt indivisibiles, non potest dividi per æqualia : quia illa habet aliquam perfectam : et ideo dividitur per inæqualia, quia imperfecta linea est semper pars : et est indivisibilis quæ non est æqualis perfectæ, quæ est vel esse potest totum in genere lineæ. Si, inquam, sic dicatur, adhuc restat eadem quæstio, qualiter alia linea sit indivisibilis ? cum enim dividitur per inæqualia, constat tamen quod dividitur per longæva, eo quod omne quod accipitur ex divisione lineæ,linea est : omnis autem linea divisibilis est secundum medium punctum : medium autem punctum non est continuum cum punctis extremis, sed potius potentia est linea quæ distenditur inter extrema puncta : et sic patet manifeste, quod nullo modo rationem reddunt hujus quæstionis, qualiter autem linea sit indivisibilis ?

Rursus ad idem ratione motus objiciemus. Constat enim ex his quæ dicentur in octavo Physicorum, quod si aliquid regulariter motum movetur per spatium aliquod in toto tempore signato, quod in medio illius temporis movetur per medietatem ejusdem spatii, et in ninnori parte temporis illius quam est medietas, movebitur per minorem par-

<--- Page Split --->

tem quam sit medietas spatii : quare siquidem detur longitudo alterius spatii componi ex superfluis indivisibilibus, hoc est, pluribus indivisibilibus quae superfluunt divisioni, tunc non est verum de motu per spatium, sed potius aufertur incisio per medium : quia superfluum quod est pars spatii per divisionem acceptum et est indivisibile, non potest dividi per medium tempore motus diviso. Et bene dico, quod aufertur : quia habitum est quod in medio tempore transit medium : eo quod secundum unam similitudinem, et tempus, et linea super quam est motus, dividuntur. Cum igitur inconveniens sit hoc, ut in sexto Physicorum ostendimus, neque una oppositarum linearum dividetur modo prædicto, hoc est, per æqualia quæ sunt perfectæ lineæ, et per inæqualia vel quæ sunt elementa linearum, constat jam per dictam rationem, quod sicut in se non dividuntur modo prædicto lineæ, ita etiam non dividuntur temporum motus divisione : ergo nullæ erunt indivisibiles lineæ. Quæ autem ejusdem rationis sunt inter species quantitatis continuæ secundum genus suum, convenit omnia facere ex impartibilibus linies. Licet enim impartibilis linea componat lineam perfecctam, tamen quia dicunt lineam perfectam componere planum, et planum dicunt componere corpus, ideo convenit necessario, quod hæc omnia sicut ex primis componentibus sint ex impartibilibus lineis : et ideo hoc per istam considerationem objiciemus contra eos. Dico ergo primo sumens rationem ex linea et sibi propriis, quod omnis linea non infinita duos habet terminos : eo quod linea his terminis terminata est, sicut patet ex diffinitione lineæ : indivisibilibus autem linea non est infinita : ergo habebit terminum duplicem in extremis : ergo aut est divisibilis, quia terminus semper est alterius quam sit terminus, est enim continuæ

longitudinis : aut oportet dicere, quod erit alia linea quæ est præter hanc quam videmus lineam, quæ neque infinita est, neque terminata : et hoc est figmentum quod imaginari non potest neque esse : quia non terminatum vel terminatum esse contradictionis modo opponuntur circa lineam.

Amplius secundum dicta non erit in omni linea punctum, quia in indivisibili linea non est punctum : eo quod indivisibilis non est indivisibile : quia iretur in infinitum. Et siquidem sic dicatur, quod non est punctum terminans lineam indivisibilem, tunc necessario sola seorsum existet linea talis : et deinde separatum etiam existet punctum : una enim erit sola secundum hoc linea. Pluralitas enim omnis provenit, aut ex divisione formali, aut ex divisione continui 1. Ex divisione autem formali provenit, sicut differentiae sunt plures et formæ plures in eodem genere. Ex divisione auten continui provenit sicut individua plura sunt in eadem specie. Si autem linea fingatur esse sine puncto, tunc neutro modo habebit pluralitem, quia linea aliena non differt formaliter : nec linea potest dividi aliena divisione continui, quia linea non est divisibilis nisi in puncta : et jam ponitur ex puncto esse universaliter separata : ergo erit sola et unica. Si autem plures sint lineæ, tunc oportet per jam dictam rationem, quod divisibilis sit linea. Adhuc autem siquidem in indivisibili linea dicatur non esse punctum, tunc sequitur universaliter in nulla linea esse punctum secundum istos : quia ipsi dicunt alias lineas ex indivisibilibus constare, et nihil amplius componere essentias earum nisi lineas indivisibiles : et hoc est inconveniens. Amplius autem nihil omnino de genere continui erit intermedium punctorum, aut oportet quod linea sit medium : quia inter duos terminos non

<--- Page Split --->

oportet aliquid intelligi esse nisi terminatum. Si autem hoc detur quod linea est intermedium punctorum, cum in omni linea sint plura puncta secundum rei veritatem et probationem jam inductam, non potest aliqua linea esse indivisibilis : quia secundum omne punctum divisibilis erit. Amplius si sunt lineæ indivisibiles, non omnis lineæ erit tetragonum, quod est inconvenientissimum, cum omnem lineam contingat in se duci, et sic necessario una posita linea tetragonum generari. In hac enim generatione simplicius est tetragonum quam trigonum. Si autem tetragonum, tunc necessario sequitur quod sit dicendum, eo quod longitudinem habet et latitudinem : quia hoc quidem tetragonum est hoc aliquid quod est indivisibile esse, propter suas essentiales dimensiones. Si autem tetragonum est divisibile, tunc necessario etiam linea ex qua generatur erit divisibilis : quia tetragonum non habet longitudinem et latitudinem, nisi ex longitudine lineæ ex qua generatur. Amplius constat quod terminus lineæ necessario erit punctum et non linea : quia si linea esset terminus lineæ, oporteret ire in infinitum : unde linea non erit terminus. Illa autem linea quæ est extremum per hoc quod ponitur indivisibilis simpliciter, cum omne indivisibile simpliciter terminus sive extremum sit, est linea indivisibilis : ergo si illa linea, habebit punctum : et si est indivisibilis omnino, non differt a puncto : ergo punctum erit terminus puncti indivisibilis. Et sequitur etiam quod linea punctum, hoc est, quæ est punctum, sit minor vel major linea puncto : quia terminatum majus est termino : ipsa autem et terminus est et terminatum. Si autem dicatur, quod lineæ indivisibili inest punctum, propter hoc quod unum et idem est terminus continuantium, hoc est, continuitatem habentium linearum, tunc oportet etiam quod indivisibili lineæ non sit punctum, cum supponatur esse continua. Et universaliter loquendo,

oportet quod in aliquo differat punctum a linea : quia secundum istos nihil habebit proprium indivisibilis linea per quod differat a puncto, præter nomen solum : et hæc omnino inconvenientia sunt. Amplius si linea dicatur indivisibilis, tunc similiter planum manet indivisibile: et similiter corpus ex planis compositum est indivisibile. Uno enim istorum ente indivisibili, oportet quod consequenter omnia alia sint indivisibilia, propter hoc quod si unum istorum dividitur, utrumque aliorum consequenter sequitur dividi. Corpus autem secundum utramque divisionem scilicet lineæ et plani quæ sunt in ipso, dividitur, et secundum profundum et secundum latum : ergo utique linea erit indivisibilis. Corpus enim secundum planum, ut isti dicunt, dividitur. Planum autem dividitur secundum lineam, et ulterius linea dividitur secundum punctum. Corpus enim non secatur nisi in superficie, et superficies in linea, et linea in puncto, propter hoc quod unumquodque in suo indivisibili dividitur : corporis indivisibile est planum, eo quod non dividitur ratione corporis in profundum : et plani indivisibilis est linea, eo quod dividitur divisione plani in latum : et lineæ indivisibile est punctum, quia non dividitur omnino aliqua divisione. Linea autem dividitur divisione una, et planum duabus, et corpus tribus.

CAPUT V.

De probationibus quod linea non componatur ex punctis.

Quia autem et rationes eorum quæ in principio inductæ sunt, per quas conantur ostendere et suadere suum propositum, debiles sunt, et super falsas propo-

<--- Page Split --->

sitiones fundatae, et oponiones eorum sunt omnes contrariae his qui possunt contingere ad finem secundum quod opinio juvata rationibus fit fides, manifestum est utique quod nulla erit linea indivisibilis, etsi nulla alia ratio in oppositum adduceretur. Et hoc quidem manifestum est ex supra dictis, ubi et rationes eorum et instantiae rationum suarum sunt positae. Ulterius igitur hic manifestabimus, quod non utique ex puncto erit indivisibilis linea : hoc enim erit nobis facile hic ostendere : quia plurimae rationum inductarum contra lineas indivisibiles fere eadem congruent etiam ad hoc quod lineae indivisibiles non sunt ex punctis : non enim oportet variare nisi nomen : quia linea indivisibilis et punctum non nisi nomine differunt, sicut ostensum est in praecedenti capitulo. Si enim linea componatur ex punctis, et omne quod componitur ex aliquo dividitur in illud ex quo compositum est, necessarium est dividi punctum : pars enim afferens quantitatem lineae est punctum,sicut linea componitur ex punctis : omne enim quod est quantum ex suis partibus habet quantitatem : pars autem afferens quantitatem toti, divisibilis est : ergo punctum est divisibile, si linea dividitur in punctum. Dividitur autem linea in punctum dupliciter, scilicet cum divisio fit per inaequalia ex superfluis lineis, hoc est, ex lineis quae superfluunt divisioni, et in quibus stat divisio : et illae sunt lineae primae indivisibiles in puncta, ut dicunt : vel cum fit divisio per inaequalia, quando fit divisio ex perfectis et compositis lineis : quia etiam illa divisio tandem sicut in ultimo stat in puncto. Sequitur etiam ex hoc, quod si linea est ex punctis, quod ultima pars lineae non est linea, sed potius punctum, et similiter ultima pars corporis non erit corpus, sed omnia sicut in ultima parte resolvuntur ad puncta. Sequitur etiam ex dicta positione, quod linea indivisibilis

sit major linea puncto, hoc est, linea cujus quantitas non excedit punctum : eo quod est indivisibilis : erit enim necessario indivisibili indivisibile majus : quia id quod componitur ex aliquo, et est totum majus sua parte componente. Si ergo linea indivisibilis componitur ex punctis, ipsa erit major, et sic indivisibile erit majus indivisibili. Ex hoc autem sequitur quod indivisibile non sit indivisibile, quia omne majus compositum est ex tanto quantum est id ex quo majus est, et ex pluri quo excedit ipsum. Quod autem hoc sit impossibile, patet etiam ex rationibus quæ in mathematicis inducuntur, ubi supponitur indivisibile esse, cujus pars componens nulla est.

Adhuc autem et ratione physica accidit punctum in tempore esse : quia dicunt punctum esse quod fertur. Si enim punctum sit pars quanti, tunc quanto moto movetur etiam punctum per accidens : sed, ut in principio quinti Physicorum habitum est1, quod movetur per accidens, sicut pars ejus quod movetur, movebitur per se, si separetur a toto : ergo punctum potest moveri per se : et quia omne quod movetur, in tempore movetur : et erit motus puncti in tempore : movebitur ergo per spatium majus in pluri tempore et spatium æquale inæquali. Et ex hoc sequitur, quod punctum sit divisibile, cum omne quod movetur sit divisibile,sicut in VIII Physicorum declaravimus2. Sed quia ibi diximus,quod hoc modo solo convenit indivisibile moveri si tempus sit ex nunc, forte isti dicent etiam tempus ex nunc esse, et ejusdem rationis est dicere ambo ista. Si utique concesserint, quod nunc est principium et terminus temporis, et linea etiam puncti sicut principii et termini sui. Sed quod hoc sit falsum, probatur ex hoc quod duo indivisibilia quorum unum est principium, et alterum terminus, non sunt ad invicem continua : sed habent

<--- Page Split --->

aliquod continuum intermedium, sicut in principio sexti Physicorum probatum est: ergo utique neque duo nunc quorum unum est principium, et alterum terminus, neque duo puncta quorum unum est principium, alterum terminus erunt ad invicem continua.

Amplius omnis linea est magnitudo quaedam : punctorum autem multorum compositio non facit aliquam magnitudinem : eo quod nullum eorum habet divisionem quae majorem requirat locum quando composita sunt multa : hoc probatur ex simili : quia si linea componitur ad lineam, et superponitur ei congruenter, ita quod una non distet ab alia, nunquam fiet ex lineis sic sibi conjunctis alia latitudo, eo quod linea omni latitudine caret : ergo a simili etiam puncta, quae insunt in linea illa, utique puncta non retinebunt ampliorem locum, propter hoc quod nullius sunt quantitatis : quare utique non facient puncta aggregata magnitudinem aliquam.

Amplius si omnia puncta tangunt omne punctum, quando congregantur in unum locum, tunc necesse est quod punctum tangens punctum, aut totum tangat, aut aliquid puncti, sicut pars tangit aliquid alterius puncti quod est pars ejus, aut totum tangat aliquid vel partem : quam divisionem etiam in principio sexti Physicorum prosecuti sumus 1 : et sicut ibi probavimus, punctum non potest tangere, nisi totum tangat totum : eo quod partem non habet cum sit impartibile. Sed omne totum tangens totum, necesse est idem esse cum ipso quod tangitur ab ipso : quia si totum tangit totum, nusquam distat ab eo : et quod nusquam distat ab aliquo quod est ejusdem naturæ et rationis cum ipso, idem est illi, cum nec forma, nec loco distinguatur : ergo punctum tangens punctum, idem erit cum puncto toto. Si enim detur punctum aliquod esse non tactum, aut etiam

utrumque puncti, hoc est, utraque pars puncti, si partem habeat non esse tactam, tunc absque dubio totum non tangit totum, sed utrumque istorum est impossibile : quia per hoc quod aggregata ponuntur esse puncta, non est aliquid punctum seorsum distinctum ab alio : et per hoc quod est indivisibile punctum, non habet utrumque, quia non dividitur per medium : et ideo necessario totum tangit totum. Si autem simul sunt modo praedicto impartiabilia puncta, eumdem retineit locum, et ejusdem quantitatis est locus nunc qui plura puncta habet in se, et qui prius antequam congregarentur, habuit tantum unum punctum : retinet enim ille locus extensionem entium simul punctorum, et extensionem non entium simul punctorum : et secundum hoc idem est ambobus locus. Impartibile autem non habet aliam distantiam secundum locum. Sicut enim dictum est in quarto Physicorum 2, neque unam inveniet aliquis distantiam puncti et loci puncti : ergo utique nulla erit magnitudo continua ex impartibilibus. Omnes enim partes continuæ magnitudinis distantias habent locales : et impossibile est plures ejusdem magnitudinis partes in loco unius partis esse : non ergo componitur linea ex punctis, neque tempus per rationem consimilem componitur ex nunc.

Amplius si magnitudo est ex punctis, absque dubio punctum tangit punctum : quia probavimus in sexto Physicorum 3, quod in mathematicis finis tactus continuum est : et quæcumque continua sunt, tangentia sunt, sed non convertitur. Ponamus igitur quod punctum unum de congregatis sit k, et per præcedentem rationem omnia alia puncta congregata erunt in eodem loco cum ipso : ex puncto igitur k quod signavimus, extrahamus per circulum distinguendo punctum A et punctum B, et iterum punctum c et punctum D. Si igitur posuerimus et conces-

<--- Page Split --->

serimus, quod c d puncta tangunt r, eo quod sunt in eodem loco proprio cum ipso, tunc etiam oportet concedere quod punctum quod est a r tanget r, et etiam illud quod est in eo quod est r d punctum tanget idem k : ergo et alio quodam quocumque voluerimus puncto fiet idem contactus, sicut diximus de k, quod omnia puncta tangunt inter quæcumque puncta accepta. Jam enim ostendimus, quod necesse est quod impartibile totum tangat totum : ergo omne punctum tangens r punctum habebit eumdem locum cum ipso r puncto : et similiter omnia tangentia puncta erunt in eodem loco cum tacto puncto : et e converso etiam sequitur, quod si sunt in eodem loco, quod tunc tangent se. Magnitudo igitur tota quæ estarcdcum non sit nisi punctorum compositio, est in loco indivisibili unius puncti, quod est maximum inconveniens. Et hæc figura debet sic scribi, quod lineaarcdsicut hic vides eam, sint puncta aggregata, quorum nullum distare a loco alterius convincitur per rationem præcedentem.

Deinde sequitur adhuc magis impossibile. Sic enim sequitur, quod linea recta tangat aliam lineam rectam, non secundum unum punctum, sed secundum duo vel plura puncta. Resumamus igitur dictam magnitudinem quæ estarcd : tunc enim punctum quod est in parte magnitudinis quæ est a r, et punctum quod est in parte magnitudinis quæ est r c tangit etiam alterum punctum quod est in fine magnitudinis sive in parte ultima : et si tangit alterum, tunc tangitur etiam ab altero : quia omne tactum tangitur a tangente : ergo punctum quod est ex c d parte ultima magnitudinis non tangit secundum unum punctum,sed tangit secundum plura puncta se tangentia et facta ab ipso : ergo cum linea recta tangit lineam in extremo sui, utraque tangit secundum plura puncta : et hoc impossibile est, cum tactus sit secundum ultimum, et ultimum lineæ in parte una non sit nisi unum. Eadem autem ratio est quantum ad in-

conveniens prædictum; etiamsi non ponamus lineam tangere lineam, ita quod tactus sit per tactum ad invicem in extremo, sed tangat etiam qualitercumque, sicut tangit linea lineam, quando qualitercumque stat super ipsam, vel aliqualiter applicatur lineæ linea . Amplius secundum dicta sequitur , quod etiam punctum quod est circuli circumferentia designatum, tangit rectam lineam, et secundum plura puncta. Id autem quod rectum est in circumferentia a puncto tangente : et id quod contactum est in tota linea tangente tangit totum : et hoc ad invicem : quia si circumfrentia componitur ex punctis quæ non distant per locum, sicut et linea, tunc uno puncto circumferentiae tangente quodlibet tangit. Et similiter est de punctis rectæ lineæ : et ideo puncta circumferentiae tangunt ad invicem : et puncta rectæ lineæ : et e converso puncta rectæ lineæ tangunt ad invicem, et puncta circumferentiae : et hoc est impossibile imaginari, cum linea recta circulum non tangat nisi in puncto uno secundum rei veritatem. Si ergo hoc est impossibile, et sequitur ex suppositione, tunc etiam impossibile est quod punctum tangat punctum in componenda magnitudine. Si autem impossibile est punctum tangere punctum, tunc etiam sequitur quod nec linea sit materialiter punctum, quia necessarium est quod punctum non tangat punctum : et ideo linea non componitur neque continuatur ex punctis.

Amplius qualiter posset assignari ratio secundum dictam positionem, quod aliquando sit linea recta ex contactu punctorum, et aliquando sit linea circularis ex contactu eorumdem punctorum : nullam enim habet differentiam contactus punctorum : eo quod omnia contingentia se puncta non faciunt distantiam secundum situm in magnitudine, neque circulariter, neque recte : unde contactus punctorum nihil omnino differt, neque in linea recta, neque in perfecta. Impartibile enim totum tangit impartibile : et jam probatum est,

<--- Page Split --->

quod non convenit totum tangere : quia ex contactu nusquam producitur extensio aliqua magnitudinis. Si igitur sunt differentes, quod una est recta, et alia circularis, contactus autem indifferens, non erit utique linea ex contactu punctorum : ergo neque ex punctis erit linea.

Amplius si linea est ex punctis, aut erit ex punctis tangentibus se, ita quod illud quod est ante in linea, tangat id quod est ante deinceps : aut erit ex punctis non tangentibus sic se ad invicem. Et siquidem necessarium est, quod punctum anterius tangat id quod est deinceps in linea, tunc erit ex punctis sese tangentibus, et ex contactu punctorum : et tunc erit eadem ratio quae prius inducta est scilicet qualiter differenter lineae secundum formam generantur ex indifferenti contactu punctorum. Si autem in linea convenit aliquod punctorum qui sunt post primum punctum, deinceps in linea non est tangens, neque tactum cum aliis punctis : cum nos nihil aliud dicimus continuum quam quod ex aliquibus sese tangentibus in termino uno : oportebit et sic puncta tangere ad invicem, vel ipsa puncta esse lineam continuam ex tali contactu : et hoc est contra hypothesim, quia positum erat quod non essent tangentia.

Amplius si inconveniens scientia sive conceptio est, quod punctum sit linea : et si inconveniens sit scientia sive conceptio, quod linea sit planum : tunc impossibile est hoc quod dicunt : sive enim puncta in linea deinceps ponantur esse sine motu, sive deinceps esse ponantur, ita quod sit inter ea tactus, semper sequitur inconveniens. Si enim sint deinceps sine motu, tunc non sunt continuæ : sed dividentur lineæ, et dividentur quidem secundum neutrum punctorum, sed potius inter medium quod est inter puncta sese non tangentia. Si autem se tangunt, tunc sicut ex superioribus probatur, tota magnitudo lineæ non erit nisi regio unius puncti. Utrumque autem horum est impossibile.

Amplius si linea est ex punctis, tunc omnia dividentur et resolventur in punctum : et punctum erit prima pars corporis. Si corpus quidem est planum aggregatum in corpus, et planum est ex lineis. Si autem sic est, quod singula sunt composita ex his quæ primum insunt illis, hoc est, quæ primitus veniunt in compositionem eorum, tunc hæc puncta erunt elementum omnium aliorum : ergo puncta erunt elementa corporum : ergo cum puncta sint unius rationis, erunt necessario elementa univoca et non altera secundum rationem et speciem : et tunc omnia quæ sunt ex ipsis, erunt unius rationis, quod est maximum inconveniens. Manifestum est igitur ex dictis, quoniam non est linea ex punctis.

CAPUT VI.

Quod punctum per divisionem non aufertur ex linea.

Ostendemus autem deinceps, quod punctum non potest auferri per divisionem ex linea : et tunc omnino manifestum erit, quod linea non est ex punctis. Si enim esset ex punctis, tunc punctum per divisionem posset auferri de linea. Dicimus igitur quod non convenit per divisionem punctum auferri de linea. Si autem detur quod manifestatur punctum seorsum a linea divisum, tunc etiam oportet concedere quod convenit apponi ad lineam. Omne enim quod dividitur, ex aliquo iterato potest componi cum eodem. Quod autem componitur cum aliquo , necesse est ex his duobus posse componi quoddam totum. Composito autem toto, necessario totum illud majus erit non ex principio composito, hoc est, ei ex principio non erit compositum, si tale sit quod componitur cum aliquo ad totius

<--- Page Split --->

alicujus constitutionem : quare absque dubio convenit ex his duobus unum totum facere, et unum totum ex his duobus sic facere, nihil aliud erit nisi quod linea composita sit : fit tunc major linea puncto, hoc est, linea et puncto divisim acceptis : hoc autem impossibile est, quia punctum nullam aufert quantitatem : ergo non convenit per divisionem punctum a linea separare.

Sed forte diceret aliquis, quod per se et secundum seipsam essentialiter non convenit lineam in puncta separare, sed secundum accidens bene quidem convenit punctum auferre a linea. Aufert enim se invicem linea , et punctum in ablata linea, si toto ablato quod est linea, principium et finis aufertur : et conceditur quod aptum est secundum materiam , lineae principium et finis etiam punctum est lineae : et his ablatis in ablata linea convenit etiam auferre punctum : quia ablata linea aufertur punctum quod est in linea. Hæc autem ablatio est secundum accidens : et de hac non loquimur, quia de ista non probatur quod linea dividatur in puncta. Si autem ponatur separari a linea ut terminus indivisibilis in quo stat divisio, tunc dicitur ab istis tangere lineam. Et si tangat, tunc sequitur quod neque terminus est, sicut in sexto Physicorum probatum est 1 : omne enim tangens tangit secundum aliquid aliud quam ipsum sit : et ideo si terminus tangit, tunc terminus habet aliud quam ipsum secundum quod tangit : et tunc non est terminus, quia necessario est divisibilis, cum omnis terminus indivisibilis sit : et si non est terminus, tunc non est terminus ipsius vel eorum quorum dicebatur esse terminus. Punctum autem quod est terminus secundum istos veritatis adversarios, tangit lineam : et sic sequitur, quod non sit terminus. Si igitur hoc quod dico, linea ponitur esse materialiter punctum : sic linea erit major puncto : et hoc est inconveniens, cum secundum

hoc punctum habeat quantitatem qua lineæ quantitas major est . Punctum enim qui est materia lineæ secundum istos est ex omnibus punctis quæ sunt in linea. Quia tamen dicunt, quod omnia puncta se tangunt, et tangentium nihil est intermedium , sequitur quod regio omnium punctorum est regio unius puncti : quorum est una sola regio, illa sunt unum : tunc sequitur quod omnia puncta sunt unum : ergo linea est unum punctum. Eadem omnino est ratio in divisione, si divisio, hoc est, relictum ex divisione sit punctum , et concedatur quod divisio illa tangit aliquid et in firmo et plano. Secundum unam autem similitudinem ponatur firmum esse ex planis, et planum ponatur esse ex lineis : tunc enim necessario sequitur omnia hujus corpora esse unum et idem punctum, sicut est autem verum dicere secundum punctum , quod sit minimum . Adhuc est minimum in minimum eorum, hoc est, in minimam rationem eorum quæ sunt de his quæ ex linea sunt, ex quibus ipsa linea componitur : et sunt de his quæ insunt lineæ ut aliqua pars lineæ existentia. Minimum autem dicitur minus his quorum ipsum est minimum. In linea autem nihil aliud dicitur esse quam punctum, cum tamen secundum veritatem linea insit lineæ : et ideo linea non est major puncto, quia punctum non est aliquid lineæ, sed terminus ejus : neque enim planum dicitur majus linea, cum linea non sit aliqua pars plani, sicut neque planum minimum est corporis : oportet enim quod comparabilia sint univoca in eo in quo comparantur : ergo patet ex dictis, quod punctum non erit minimum lineæ : ergo neque per divisionem aufertur ab ipsa linea. Minus enim et minimum accipitur per divisionem ex eo cujus est minus. Si autem punctum sit aliquid compositum vel appositum lineæ, ut dictum est, et minimum ad minus est in tribus personis sive individuis, oportet

<--- Page Split --->

enim quod punctum et minus sit ejusdem naturae cum minimo : tunc non potest punctum esse minimum linea , sive eorum quae sunt in linea, sicut aliqua pars linea existentia. Similiter autem est de aliis quaecumque insunt circa puncta et lineas in longitudine. Ex omnibus illis colligitur, quod non est longitudo aliqua ex punctis. Si autem dicatur quod punctum est aliquid ens in loco, tunc oportet quod ex punctis quae sunt in loco sit aliquid quod sit longitudo, vel planun, vel firmum. Ea autem ex quibus est linea, illa sunt in loco : etenim ipsa sunt linea : quia id quod est in loco, distensionem habet in finem in loco : et ideo puncta quae sunt in loco, distensionem habent : et ideo facere lineam possunt. Si ergo concedatur cum hoc, quod neque corpus inest linea, neque planum, neque aliquid compositum ex his : tunc sequitur necessario, quod vel universaliter circa lineas et puncta ex eis est in alia longitudine : quia si concedatur punctum esse in loco, absque dubio erit corpus : et si non erit corpus, non erit in loco : quia non habebit tumorem, et sic non habebit longitudinem. Et sic sequentur opposita : si enim sunt in loco, tunc sunt lata, profunda, et longa : et sic componetur ex eis longitudo, et caeterae dimensiones : et si non est in eis aliqua dimensio lati et profundi, tunc non sunt in loco, et per consequens non erit ex eis longitudo vel aliqua dimensio.

Amplius autem si in loco ente vel demonstrato est longitudo quae dicta est esse major, quae est superficies, vel firmum sive corpus : punctum autem est de numero eorum quae sunt in loco in longitudine existens quae est circa puncta vel lineas quae componunt longitudinem, vel est praedictorum quae sunt in loco : ergo punctum non erit minimum eorum quae sic sunt in loco, et insunt eis : quia aliter corpora et plana quae sunt in loco, resolverentur ad puncta existentia in

loco : et puncta taliter in loco existentia essent corpora, sicut dictum est.

Amplius si punctum indivisibile erit minimum in linea quod per divisionem accipitur, tunc erit tale sicut in quod reducitur etiam minimum quod eorum quae sunt in domo, ad quod tamen domus componentia per comparationem non dicuntur : quia si diceretur ad ipsum, tunc oporteret esse univocationem in ipso in quo comparantur, hoc est, in quantitate. Similiter autem est in aliis quae componuntur ex partibus, a quarum quantitate est quantitas eorum : ergo etiam id quod est in linea minimum, sicut punctum, ut dicunt, erit ad lineam comparatum. Hoc autem est inconveniens : omne enim per divisionem acceptum in continuo minus est toto et comparatur ad ipsum : quare non congruet punctum dicere quid minimum per divisionem extractum de linea : quia in simili quod non est ens in domo, ut aliqua pars componens domum, non erit eorum quae sunt in domo minimum : et similiter est in aliis quae componuntur ex partibus. Convenit autem lineam ipsam secundum seipsam esse, hoc est, in quantum est linea : et tunc necessario habet aliud esse quam esse punctorum congregatorum : tunc pars linea linea erit, et quælibet erit divisibilis : ergo si considerata linea nihil erit accipere per divisionem indivisibilem in linea, ergo simpliciter et absolute minimum non erit in ea : secundum hanc ergo lineam non erit verum dicere, quod aliquid sit in linea minimum in quo stet divisio, quia quolibet accepto per divisionem, est accipere minus : et hoc procedit in infinitum.

<--- Page Split --->

CAPUT VII.

Quod punctum non habet analogiam cum articulo.

Articulus quid. Artículos enim dicitur minimum in cor- pore composito in quo diversa articulan- tur et quasi colliguntur : secundum hanc igitur rationem articuli dicemus,quoniam generaliter punctum in continuo articu- lus dici non potest. Articulus enim sem- per duorum est terminus quae in ipso arctantur : punctum autem unius lineae terminus est : et ideo punctum cum ar- ticulo non generaliter habet similitudi- nem. Amplius punctum secundum hoc quod actu est in ratione indivisibile, ma- gis habet rationem termini quam divisio- nis : sed e converso articulus magis habet rationem divisionis quam termini : na- tura enim in fine et extremitate ali- quando non constituit articulum, sed in medietatibus inter extrema : sed pun- ctum semper est finis lineae . Amplius lineae et planum habent magis rationem articulorum quam punctum : quia habent aliquid analogum, hoc est, secundum proportionem similitudinis dictum ad articulum. Articulus enim est aliqualiter differentia, hoc est, in quo differentia colligantur, sicut linea est inter pun- ctum et planum, et planum inter lineam

et corpus : punctum autem et corpus sunt sicut extrema : et ideo habent analogiam cum articulo. Propter quod et Empedocles recte fecit articulum, propter quod et oportet facere ipsum. Dixit enim, sicut apparet ex suis sermonibus, quod in primo mixto capita germanorum erant sive cervice, et similiter alia non colligata erant et conjuncta, quae postea per amicitiam ordinata et articulata sunt diversis convenientibus per concordiam in constitutionem unius et ejusdem : et ideo articulus concordat diversa : sed punctum est eorum quae sunt unius lineae, sicut sunt partes continui terminatae ad punctum : et ideo patet ex dictis Empedoclis, quod punctum non habet analogiam cum articulo.

Sed forte objiciet aliquis, quod est in linea punctum secundum quod est divisio lineae, quod signum proprie vocatur vel divisio : et ille videtur habere cum articulo analogiam. Sed hoc citius solvi- tur : quia punctum dividens non est nisi potentia : articulus autem dividit actu et connectit quae actu divisa supt. Punctum autem etiam est in his quae non habent motum, sive omnino abstracta sint a motu, sicut mathematica : sive non ha- beant motum a seipsis, sicut habent mo- tum animalia. Articulus autem non est nisi in corporibus ad motum ordinatis : unde et propter motum formatur articu- lus, sicut in libro de Motibus animalium dici debet. Adhuc nullus habet infinitos articulos actu vel potentia in corpore toto vel in parte corporis, sicut in manu : puncta autem potentia sunt infinita, eo quod non fit divisio nisi in puncto, et divisio vadit in infinitum. Amplius lapi- dis et alterius homogenii in partibus ar- ticulus nullus est : puncta autem habet lapis, sicut et quodlibet homogenio- rum.

<--- Page Split --->