TRACTATUS I

CAPUT II.

De demonstratione, quod continuum in nulla suarum specierum sigillatim sumptarum componitur ex indivisibilibus.

in prima parte indivisibilis spatii, et e in secunda, quae est in secunda parte spatii, et f tertia, quae est in tertia parte spatii. Si enim dicatur motus esse ejus moti quod vocatur o, tunc oportet quod de praesenti motu ejus moveatur secundum aliquam partem ipsius motus : quia non explicat totum motum, nisi partes ejus successive unam post aliam explicando.

Quod autem nos ostendimus de con- 1. tinuo in communi, habet unam et eamdem rationem in omnibus speciebus continuorum : ejusdem enim positionis est dicere omnia haec, magnitudinem videlicet, tempus, et motum componi ex indivisibilibus et dividi in indivisibilia, aut nullum eorum : hoc autem erit manifestum ex his quae dicentur.

Cum enim super magnitudinem sit 5. motus localis, si dicatur magnitudo alia componi ex indivisibilibus, oportebit dicere quod motus qui est super eam, componatur etiam ex indivisibilibus motibus aequalibus indivisibilibus illius magnitudinis : quia supra in quarto hujus scientiae libro docuimus 1, motus sequitur magnitudinem, et prius et posterius in motu sunt a priori et posteriori in spatio sive magnitudine : ut si dicamus, quod magnitudo quae significatur per litterasaBccomponitur ex tribus indivisibilibus quae sunt a primum, et B secundum, et c tertium : tunc oportet nos etiam concedere, quod motus illius qui movetur super spatium illud, componatur etiam ex indivisibilibus, et dicamus quod id quod movetur super illud spatium, vocetur o, et motus ejus signifietur per litteras D E F, et tres partes indivisibiles motus sint D primum, quae est

Constat autem quod si aliquid moveText, et com. 6. tur, tunc oportet quod sit ejus motus : et e converso cum motus alicujus est, tunc oportet quod ipsum moveatur. Si ergo dicatur, quod ipsum movere sive ipse motus sit ex indivisibilibus, tunc oportet quod ipsum quod fertur quod vocatur o, feratur secundum primam partem spatii quae dicitur A, explicando primam partem motus quae dicitur D : et secundum secundam partem spatii quae vocatur B, explicabit secundam partem motus quae vocatur E : et secundum tertiam partem spatii quae dicitur c, explicat tertiam et ultimam partem motus, quae dicitur F : quia sicut non transit spatium nisi per partes ejus movendo, ita non explicat motum nisi partem per partem in spatio explicando : quia si partes spatii dicantur indivisibiles, erunt et partes motus indivisibiles. Quod si conceditur, ostenditur hoc esse impossibile per hunc modum.

Si enim omne quod movetur unde Text et com. 7. ubi, hoc est, de aliquo loco ad aliquem locum, necesse est non simul moveri et motum esse a loco a quo movit se : et quando movit se ab illo, tunc etiam impossibile est quod aliqua pars motus sit in indivisibili parte magnitudinis. Quod autem primum sit impossibile, sic probatur per exemplum. Si enim aliquis

<--- Page Split --->

vadit Thebas, impossibile est quod hæc duo simul sint in tempore, quæ sunt ire suum ad Thebas, et itum esse ad Thebas : sicut nec simul sunt ire ad balneum, et esse in balneo,sive itum esse ad balneum. Si enim simul essent hæc duo, tunc aliquis cum incipit ire Romam, esset Romæ, et tunc ire esset superfluum : et simul esset in quiete et in motu quod est impossibile. A simili ergo si dicatur id quod movetur, quod vocatur o, moveri in impartibili, tunc partem motus quæ est b vocata, explicat in illo indivisibili magnitudinis quæ vocatur a. In illo ergo a oportet quod prius sit in moveri quam in motum esse, per ea quæ probata sunt in simili. Et simile est in aliis partibus motus. Constat autem quod cum movebatur, transivit spatium aliquod in quo non fuit in motum esse : ergo si illa pars magnitudinis quæ vocatur a composita est ex spatio quod transivit ipsum quod vocatur o, et ex illo in quo fuit in motum esse, postquam transivit ipsum : ergo non est indivisibile : et hoc est contra positionem primam.

Hoc autem eodem modo penitus probatur, quod spatium quod vocatur b est divisibile, et similiter illud quod vocatur c, supposito quod ad quodlibet eorum posterius devenit hoc cum in ventum esse fuerit quam venit : hoc autem est quam in veniendo fuit. Non enim potest dici quod quiescebat in partibus magnitudinis, et movebatur in tota magnitudine : quia id quod movetur, non explicat spatium aliquod in transeundo in partes ejus : neque iterum potest dici, quod quiescebat dum transiret : quia sic opposita ut privatio et habitus, essent simul in eodem, et secundum idem, et respectu ejusdem : et constat quod intermedium est in spatio in quo solo fuit motus, sicut ostendimus in quinto libro hujus scientiæ. Si autem dicatur quod hæc duo sunt simul in tempore, quæ sunt ventum esse et venire, tunc sequitur quod cum jam aliquid venit per hoc quod in veniendo est præsentialiter, quod erit ventum in locum

ad quem venit : et erit ibi motum esse, ubi jam est in movendo : ergo præsens omne secundum se totum est præteritum : quæ omnia sunt impossibilia : ergo non potest dici, quod aliquid simul veniat et ventum sit ad illud.

Si autem aliquis dicat adhuc sicut Text et com, 8. prius, quod id quod vocatur o movetur secundum totum spatium magnitudinis, quæ est a b c, et motus qui est in tota illa magnitudine, totus quidem est qui vocatur d e f, sed o nihil movetur secundum aliquam partem spatii : et ideo in a quæ est impartibilis pars spatii, nunquam movetur secundum aliquam partem motus, sed potius motum in quolibet partibili spatii : et tamen movetur in toto, hoc est, quod id quod fertur in moveri sit in toto, et in motum esse sit in qualibet partium spatii, eo quod sunt indivisibiles, tunc sequuntur multa inconvenientia. Quorum unum est, quod motus componitur ex non motibus, sed ex momentis indivisibilibus : quia positum est quod motus constat ex tribus, quorum primum est d, secundum e, tertium f, quæ sunt in a et b et c partibus spatii : et hoc non potest esse, quia ex indivisibilibus nulla componitur quantitas. Secundum autem est, quod aliquid jam motum est quod nunquam motum fuit, id est, quod nunquam movebatur : quia erit aliquid in transitum esse per totum, quod nunquam transivit partes illius spatii totius. Constat ergo quod aliquid erit in transitum esse Romam, quod nunquam fuit Romæ vel vadens Romam : constat enim quod id quod vocatur o secundum hoc dictum hanc magnitudinem spatii transivit totam,et nunquam transivit hanc eamdem magnitudinem secundum partes : et cum tamen aliquid possit transire totum spatium explicando partes illius spatii.

<--- Page Split --->

Dicimus ergo ex praemissis, quod omnis magnitudo spatii super quod est motus, est divisibilis in magnitudines quæ sunt partes ipsius. Jam enim in praecedenti capitulo ostendimus, quod impossibile est magnitudinem constare per compositionem ex atomis: cum tamen omnis magnitudo sit continua: ideo necesse esse compositam ex magnitudinibus quæ sunt partes ejus. Quia ergo hæc jam ostensa sunt, et velox et tardum considerantur in hoc quod unum plus et alterum minus transit de partibus magnitudinis spatii in tempore æqualibus, oportet quod velocius habeat in se tria: quorum primum est, quod velocius transeat in tempore æquali plus de spatio quam tardum. Secundum est, quod velox in minori tempore transeat æquale spatium cum tardo. Et tertium est, quod in minori tempore velocius plus transeat de spatio quam tardum. Per hæc enim tria quidam Antiquorum ante nos diffinierunt ipsum velocius. Primum autem horum trium sic probatur. Signetur enim velocius nomine littera A, et tardius per litteram B, et magnitudo spatii quod transit velocius, significetur per litteras CD, tempus autem quod mensurat motum velocioris per hoc totum spatium, significetur per F1: dico quod cum per se notum sit, quod velocius sit quod primum sive citius movet suum subjectum quam movens id quod est tardius, necessario sequitur quod cum velocius quod vocatur A est in termino spatii, qui terminus significatur per D litteram, in quem terminum venit motum a principio spatii quod vocatur C, hoc est, in tempore quod significamus per F1, et in illo eodem tempore tardius quod vocamus B non est in termino spatii quod vocamus D F, sed potius deficit, et erit in aliquo intermedio ejusdem spatii: ergo velocius et in æquali tempore plus habebit de spatio quam tardius: et sic habita est prima pars diffinitionis.

At vero etiam probabimus, quod plus Text, et com. 12. movetur de priori spatio in minori tempore quam tardum: ex quo habitum est jam, quod cum velox sit in termino spatii, tunc tardum adhuc non est ibi, sed remansit in intermedio, ponamus quod locus in quo remansit tardum signifietur per litteram E, ut scilicet in æquali tempore velox transeat totum spatium c D, quando tardum ejusdem spatii transivit partem quæ est c E, eo quod ipsum est tardius: et ponamus litteram T inter litteram c et D in eodem spatio, ut c T sit major pars totius spatii quam sit c E. Quia igitur jam habitum est, quod velocius quod vocatur A in toto tempore quod vocatur F I transivit totum spatium quod dicitur c D, oportet necessario quod idem velocius partem majorem ejusdem spatii quæ dicitur c T, sive in breviori tempore transeat quam totum spatium: ergo transit ipsum in parte temporis totius quod dicitur F I. Ponamus ergo quod illa pars temporis in qua velocius transeat partem spatii, quæ dicitur c D, significatur per F H, ita quod tempus F H sit pars temporis F I, ergo brevius erit F H quam F I tempus. Sed positum fuit prius, quod tardius non transivit in toto F I tempore nisi per illam partem spatii quæ dicitur c E: cum igitur c T majus sit spatium c E spatio, et F H tempus brevius sit tempore F I, velocius in breviori tempore transivit plus de spatio quam tardum. Et hæc est tertia pars superius habitæ diffinitionis.

Ex his autem eisdem manifestum est, Text et com. 13. quod velox in breviori adibit æquale spatium cum tardiori. Jam enim habitum est, quod transit in breviori tempore spatium majus. Si ergo accipiamus velocius secundum se non comparatum ad tardius, tunc in pluri tempore transit majorem magnitudinem, et in minori tempore minorem. Dicamus ergo quod major magnitudo quam in pluri tempore transit velox,

<--- Page Split --->

significetur per L M tota, et minor magnitudo quam transit in breviori tempore signetur per L X, tunc enim spatium L X pars est spatii totius quod est L M, et dicamus quod L M sit æquale spatium ad C D, et L X sit æquale spatium ad C T, quæ sunt pars major spatii totius C D : ponamus etiam quod tempus in quo velocius tantum sit totum spatium L M vocetur P R, et pars ejus temporis in qua idem velocius transit partem ejusdem spatii quæ dicitur L X vocetur P S : ex quo sequitur quod P R est sicut tempus Z I : quia pars ejusdem temporis P S dicta est sicut pars alterius temporis, quæ dicebatur Z H : et tempus in quo tardius transit partem spatii quæ vocatur L X sit significata per litteram H : ex quo sequitur, quod tempus H sit longius Z I tempore et P R tempore divisim sumptis : cum enim L X sit plus spatii quam C E, eo quod est tantum sicut C T et citius C E fuit pars, et tardius in toto Z I tempore non sit motum nisi per C E quod est minus quam L X, oportet quod in majori tempore tardius transeat per L X quam sit totum tempus Z I vel P R : istud ergo majus tempus signetur per litteram H, ut diximus. Constat enim quod id quod est majus majori, est multo majus minori : et id quod est majus toto, multo majus parte. Cum ergo tempus H in quo tardum transit per L X sit majus quam P R in quo velox transit per L M, erit tempus H multo magis tempore P S in quo velox transit per L R, quod est spatium æquale ei quod transit tardum, cum sit illi idem. Et sic probatum est quod velox in minori tempore transit æquale spatium spatio tardioris, quod fuit secundum superioris diffinitionis : quod tamen in ordine demonstrationum posuimus tertium : quia probatur ex tertio. Figura autem omnium horum est hæc quam videtis hic descriptam : in hac linea H longior debet esse cæteris, quia significat longius tempus.

Amplius si omne quod est, necesse est Text. et com. 14. moveri cum alio, aut in tempore æqualia, aut inæqualia. Et si movetur in inæqualia, tunc necesse est moveri, aut in pluri, aut in pauciori : et quod quidem movetur in pluri, est tardius : et quod movetur in tempore æquali per æquale spatium, est æque velox : et si velocius est, nec tardius est, nec æque velox, tunc necessario sequitur quod velocius neque movetur in pluri tempore quam tardum, nec in æquali tempore cum ipso tardo. Relinquitur ergo secundum prædictam divisionem, quod velocius movetur in tempore minori. Si ergo cum tardo transeat æqualem spatii magnitudinem, absque dubio transibit eam in tempore brevi ipsum velocius quam tardum.

CAPUT IV.

In quo probatur ex diffinitione velocis, quod tam magnitudo quam tempus sint continua.

Ex præhabitis autem ostenditur, quod Text. et com. 15. tam magnitudo quam tempus continuum est. Accipiamus enim ex superioribus determinatis, quod omnis motus est in tempore : et cum motu accidit velocitas et tarditas, oportet quod in tempore contingat velocius et tardius moveri, eo quod omne quod movetur in quantum movetur, convenit velocius et tardius moveri. Dico autem in quantum movetur : quia, Com. 15. sicut objicit Alexander 1, motores naturales determinatarum sunt virtutum : et ideo nullum elementorum potest velocius moveri quam movetur : et etiam motores elementorum convenit venire ad velocitatem aliquam stantem, qua in illo genere non est accipere velocitatem majorem.

1 Hanç objecionem etiam movet Averroes in

<--- Page Split --->

Et ideo videbatur quibusdam falsum esse quod dictum est, quod omne quod movetur, convenit velocius et tardius moveri. Sed dicendum, quod si consideretur motus in mobili universali non contracto ad materiam hanc vel illam, absque dubio omne quod movetur convenit velocius et tardius moveri. Et talis est hic nostra consideratio de motu et mobili : quia mobile non contractum non ponit aliquam formam determinatam, qua vel tardetur vel velocitetur motus ejus. Si autem consideratur mobile contractum et determinatum, tunc absque dubio verum est, quod accipitur determinata velocitas motus ejus qua secundum naturam non est accipere majorem, sicut objicit Alexander. Accipiatur ergo universaliter ex dictis, quod in omni tempore convenit velocius et tardius moveri omne mobile in quantum est mobile.

Tetzl et com. Accipiamus ergo diffinitionem continui 1b. qua dicitur, quod continuum est id quod divisibile est non per atoma, sed per divisibilia. His enim praesuppositis, demonstrabimus ex diffinitione velocis et tardi tam magnitudinem quam tempus esse divisibilia in semper divisibilia, et sic esse continua. Quoniam enim ostensum est prius in ultima demonstratione praecedentis capituli, quia velocius in minori tempore transibit aequale ei quod tardum transivit in majori. Ponamus ut prius, quod velocius significetur per a litteram, et quod tardius significetur per b litteram, et ponamus quod id quod est tardius, movetur per magnitudinem spatii sui, et signetur per c d litteras in toto tempore quod significatur per z i litteras. Tunc enim patet ex dictis, quod idem spatium totius in breviori tempore transibit idem spatium. Dicamus ergo quod id velocius quod vocatur a transibit per spatium i per partem temporis prius dicti : et illa pars vocetur z c, et sit pars totius temporis quod dicitur z i. Iterum autem di-

cimus, quod quando velocius in parte temporis quæ est z c transivit totum spatium quod dicitur c D, tunc in eadem parte temporis k quod est tardius, per minorem magnitudinem spatii transibit. Transeat ergo partem spatii prius dicti in parte temporis prius habiti, et signetur illa pars transita a tardo per c k : adhuc quando tardius transivit c R in tempore quod est z c, idem spatium transibit velocius in breviori tempore : ex motu ergo velocioris, et iterum secunda divisione dividitur tempus : sic ergo ex comparatione velocioris ad tardius super quamcumque partem magnitudinis , iteratis semper divisionibus temporis : hac autem divisione etiam pars magnitudinis quæ est c R dividetur per comparationem tardioris ad velocius : et si magnitudo dividetur, necesse est iterum tempus dividi. Hoc autem semper ita convenit in infinitum. Si autem accipiatur comparatione velocioris tardius , quod transit minus spatium in eodem tempore in quo velocius transit majus : et si accipitur e converso a comparatione tardioris velocius quod transit æquale spatium in breviori tempore, dummodo aliquis utatur velociori et tardiori in diffinitione qua superius demonstratum est de ipsis. Ostendet enim velocius semper divisionem temporis si accipitur in æquali magnitudine cum tardo, et tardius semper ostendet divisionem magnitudinis si accipitur in æquali tempore cum veloci. Si autem semper tenet hujusmodi comparatio , tunc semper verum est converti tardum ad velox, et e converso. Quotiescumque autem convertuntur ad se, toties ostendunt fieri divisiones magnitudinis et temporis.

Cum autem continuum sic dividitur Tetzl et com. 17. in semper divisibilia, oportebit ex dictis per partem temporis prius dicti : et illa pars vocetur z c, et sit pars totius temporis quod dicitur z i. Iterum autem di-

<--- Page Split --->

tinua est : per hujusmodi enim et æquales divisiones tam magnitudo quam tempus dividitur. Forma autem linearum debet esse hujusmodi, quod signa sectionis infinitæ sint in duobus signis, scilicet longitudinis et temporis. Amplius autem idem probatur quasi logice ex his quæ consueta sunt dici. Manifestum enim est, quod si tempus continuum est, quod etiam magnitudo continua est, et e converso : omnes enim dicunt, quod si aliquid in regulari motu transit aliquod spatium quod in dimidio illius temporis transit medium, et in dimidio medietatis temporis iterum dimidium medietatis spatii, et sic in infinitum 1. Hæ namque divisiones eodem etiam mobili sumptæ sunt tam temporis quam magnitudinis.

quidam est circulus, et redit idem tempus. Nos autem loquimur hic de infinitate, quæ est per extensionem rectam : hoc enim modo super omnem magnitudinem potest esse motus : et omnis motus mensura est tempus : et ideo infinitas quæ venit in uno, necessario evenit etiam in altero.

CAPUT V.

De reprehensione Zenonis qui dixit quod si motus est, convenit transire infinitum in tempore finito, et qualiter hoc convenit, et qualiter non.

Unumquodque istorum infinitum esse 18. dicitur, erit et alterum necessario infinitum : et secundum quemcumque modum infinitatis unum eorum est infinitum, secundum eumdem modum infinitatis est alterum infinitum : ut si tempus est infinitum in ultimis, ita quod non habeat ultimum vel finem,ita quod sit extensive in infinitum : tunc etiam longitudo est infinita secundum distantiam ultimorum, quod est infinitum esse per extensionem in infinitum. Si autem divisio sit tempus, infinitum erit et magnitudo divisione infinita : et si utroque istorum modorum tempus est infinitum, tunc etiam utroque istorum modum longitudo est infinita.

Licet forte de hoc aliqui dubitare possint, quia secundum Peripateticos tempus ponitur sine ultimo, quia non habebit finem : et a Peripateticis probatum est in Cælo et Mundo, quod nulla magnitudo infinita est in ultimis. Sed ad hoc dicendum, quod quando tempus infinitum ponitur, hoc dicitur : quia tempus

Ex prædictis patet, quod ratio ZenoText. et com. 19. nis qua destruit motum, assumit aliquid falsum quod Zeno opinatur esse verum : hoc autem falsum est illud quod Zeno assumpsit, quod impossibile est quod aliquod motum pertranseat infinita quæ sunt in continuo, vel ut tangat ea secundum unumquodque in tempore finito : et sic processit Zeno. Omne quod movetur, in aliquo tempore movetur in quo perficitur motus ejus : quod autem movetur in tempore in quo perficitur motus ejus, movetur in tempore finito : sed omne quod movetur in tempore finito per spatium alicujus magnitudinis transit tangendo omnia secundum unumquodque eorum quæ sunt in spatio in tempore finito. Sed quæ sunt in continuo spatio sunt infinita : ergo id quod movetur, transit tangendo infinita secundum unumquodque in tempore finito, quod est impossibile : ergo et motum esse est impossibile, quia hoc sequitur si detur esse motus. Falsum autem opinatur Zeno in hac ratione, cum dicit magnitudi-

<--- Page Split --->

nem infinitam et tempus infinitum : quia quoad finitum esse vel infinitum ejusdem rationis sunt tempus et magnitudo. Dupliciter enim dicitur magnitudo et tempus, et sic omne continuum esse infinitum : aut enim dicitur infinitum secundum divisionem, eo quod divisibile est in infinitum : aut dicitur infinitum actu, quod est in ultimis, hoc est, in distantia suarum extremitatum infinitum : et hoc diximus supra esse infinitum vel extensionem in rectum : et verum quidem est, quod taliter infinitis secundum quantitatis actualem extensionem non convenit se tangere in tempore finito : quia cum talia infinita ultima non habeant, nunquam contingent se his quæ non habent : quod si etiam ultima haberent, quod tamen esset contra rationem infinitorum hoc modo dictorum, non contingent se in suis ultimis : quia sua media quæ actu sunt infinitæ extensionis, nunquam pertransire possent : et hoc modo si esset infinita magnitudo, verum diceret Zeno ; sed ostensum est supra in tertio hujus scientiæ, quod hoc modo nihil est infinitum. Eis autem quæ sunt infinita secundum divisionem, eo quod dividuntur in infinitum, convenit hoc modo transire infinita, quæ contingunt se in continuo : quia illa infinita non sunt actu, sed potentia : et hoc modo etiam ipsum tempus est infinitum : et ideo in tempore hoc modo infinito quod non est infinitæ divisionis, convenit id quod movetur, transire in infinitum secundum divisionem : sicut etiam continuum spatium : et hoc modo convenit, quod potentia se tangunt infinita in ipsis quæ hoc modo sunt infinita, quæ sunt continua, et ideo non finita per divisionem. Sed si daretur aliquid esse actu per extensionem infinitum, id non posset transire spatium finitum, nedum infinitum in tempore finito, nec etiam in tempore infinito : quia si transiret, tunc aliquando ultimum ejus contingeret ultimum spatii : et sic oporteret quod esset finitum : et hoc est contra hypothesim, qua positum fuit ipsum esse

infinitum. Sed oportet dicere quod per modum illum quo tempus est infinitum, quod per eumdem modum magnitudo est infinita, et e converso si magnitudo est infinita per aliquem modum, per eumdem erit tempus infinitum. Hoc ostenditur per demonstrationem ducentem ad impossibile per hunc modum.

Si enim adversarius det magnitudinem T ext, et cum 20. aliquam finitam esse, et tempus mensurams motum esse infinitum, signetur magnitudo recta finita utrumque finem habens per lineam a B : tempus autem infinitum adæquatum motui qui est supra ipsum, signetur per litteras c D. Oportet autem necessario, quod tempus illud finitum sit ad unam suam extremitatem in qua incipit motus : quia ad utramque suam extremitatem non potest imaginari infinitum esse ex parte : ergo finitæ extremitatis temporis resecemus ex tempore partem finitam quæ signetur per litteras g D : et incipiat motus temporis motum magnitudinis in extremitate lineæ a B, in parte quæ signatur per B : illud ergo quod signatur per lineam a B in parte finita temporis quam resecamus ab infinito tempore, aliam partem magnitudinis transibit : et sit illa signata per lineam B e, quæ est pars totius lineæ a B. Pars ergo illa quæ est B e, aut est pars aliquota lineæ a B, ita quod sit dimidia, vel tertia, vel quarta, et sic deinceps : aut deficit ab aliquota, ita quod est minor : aut excellit aliquotam, ita quod est major. Sicut si velles accipere partes ejus quod est sex, aliquotæ partes suæ essent quæ aliquoties sumptæ constituerent totum sicut tria essent dimidia, et duo essent dimidia, et duo essent tertia, et unum esset sexta. Pars deficiens ab aliquota est, sicut si velles accipere octo, deficiens a dimidia esset ternarius, et excedens aliquotam esset quinarius et senarius et septenarius : et hoc modo dicitur pars quæ minor est 'toto, cum ta-

<--- Page Split --->

men sit in ipso. Si ergo diceremus, quod linea B E aliquota esset lineae A B totius, tunc oportet quod mensuret totum et reddat ipsum si iteretur toties in toto quot unitates habet numerus a quo de nominatur, ut si est altera vel iterata, reddet totum : et si est tertia, tunc iterata constituet totum, et sic de aliis. Constat autem quod æqualiter velox motu regulari æquales partes spatii transivit in partibus æqualibus. Si ergo transivit partem quæ est B E in tempore G D, alias partes transibit in tot temporibus æqualibus illi, quot sunt partes æquales lineæ B E et tota linea A B : sed quod componitur ex æqualibus finitis aliquotis, est finitum : ergo tempus motus qui est super lineam A B erit finitum : et dictum fuerat, quod erat infinitum. Si autem dicatur quod pars illa quæ dicta est B E deficit aut excellit, idem sequitur : quia tunc linea componitur ex parte minori et parte majori, ita et motus super ipsam, et tunc tempus adæquatur motui : tunc oportet quod et totum tempus componatur ex majori et minori finitis, et tunc totum erit finitum : et dictum erat, quod esset infinitum. Hoc autem totum sequitur propter illud quod semper per æqualia additur magnitudo et motus et tempus : quia tantus est motus, quanta est magnitudo spatii in quo est motus : et quantus est motus, tantum est mensurams ipsum.

deficiat ab aliquota, semper reddat totum : et concessum est, quod æqualiter velox in æqualibus temporibus æquales partes transit : oportet necessario sicut prius, quod tempus ex finitis compositum sit finitum : quia totum continuum et quantitativum non habet quantitatem, nisi illam quæ ex partium quantitate est. Si forte dicat adversarius iterum, quod etiam partes transit in infinito tempore, sicut partem quæ est B E, ostendemus hoc esse falsum. Sicut enim diximus, oportet quod tempus tale in altera extremitate sumatur finitum. Hoc autem dato accipiemus propositionem per se manifestam, quæ est, quod omne quod transit aliquod spatium, æqualiter velox in toto spatio existens, in minori tempore transit partem illius spatii, quam totum spatium : ergo illud quod movetur super spatium A B, in minori transibit hanc partem quæ est B E, quam totum. Sed quod minus infinito necesse est finitum esse, cum infinita omnia æqualia sunt : ergo partem B E et simili ratione alias partes transit in tempore finito. Sed prius habitum est, quod illa parte temporis finita necesse est alias finitas esse : ergo totum tempus est finitum. Hæc autem demonstratio figuratur in lineis hoc modo, quia linea magnitudinis et spatii finita sic ponatur, ut primus terminus ejus prænotetur littera B, et ultimus terminus signetur littera A : et pars ejus quæcumque fuerit, sive aliquota, sive deficiens, sive excellens eam, significetur versus B per E litteram : sub illa autem linea ducatur linea designans tempus infinitum, quæ quidem finita sit in extremitate prima versus B, et illa extremitas significetur per G litteram, et ab altera parte ducatur in infinitum, et pars temporis in qua est motus B E significetur per litteram D, sicut hic vides.

Amplius autem si dicat adversarius, quod bene verum est, quod non omnem magnitudinem transibit in tempore infinito, sed transibit aliquam in tempore finito, sicut illam quæ est partium, sed tamen illam quæ est totius, secundum se transibit in tempore infinito. Probabitur iterum non posse stare quod dicit. Intendit enim sic dicens, quod illam magnitudinem quæ est partis quæ dicitur B C transibit ipsam in tempore finito, cum illa sive sit aliquota, sive excellat, sive

Eadem autem demonstratio conversa Text. et com. 22. demonstrabit impossibile si dicatur ma-

<--- Page Split --->

gnitudo esse infinita in altera extremitate, et super illam esse motum qui mensuretur tempore finito : quoniam tunc eodem modo ab infinita magnitudine ex parte extremitatis finitæ secabimus partem super quam est motus in parte temporis finiti, et probabimus quod illa pars mensurabit totam magnitudinem, et sic erit finita. Manifestum est igitur ex his quæ a principio istius sexti dicta sunt, quia neque linea, neque planum quod est superficies, neque universaliter aliquid quod est de numero continuorum compositum est ex atomis : et hoc non solum ex dictis manifestum est, sed etiam ex eo quod dicemus in sequenti capitulo, scilicet quod sequeretur dividi indivisibile. Quod enim continuum fit indivisibile in ea quæ semper sunt divisibilia, et non sit compositum ex atomis, tripliciter declarari potest : quorum unus modus est per diffinitionem et naturam contigui et contingentis 1. Alter est per naturam motus, et ejus quod movetur : et hi duo modi habiti sunt. Restat adhuc tertius. qui in sequenti capitulo ponetur, ex proprietate velocioris et tardioris.

CAPUT VI.

Quod continuum non componitur ex indivisibilibus, per diffinitionem velocioris et tardioris.

Dicamus igitur quod velocius et tar dius in motu sunt sicut divisio motus : quoniam motus non dividitur nisi dupliciter, ut in sequentibus istius libri declarabitur, scilicet per magnitudinis divisionem et temporis divisionem : et nos habuimus jam in praemissis probatum, quod tardum dividit magnitudinem, et velox

dividit tempus. Oportet ergo quod in omni motu sit accipere velocitatem majorem et minorem in infinitum, sicut in conti nuo est accipere divisionem in infinitum : et sitaret velocitas,sive in minus, sive in magis, tunc sequeretur quod in aliquo continui staret divisio : quia in motu continui staret divisio, quod est impossibile : et licet quod superius diximus sine probatione, et ideo hic probatum.

Dicamus igitur quoniam, sicut jam Text et com 23. dictum est, in omni tempore convenit velocius et tardius moveri, tunc velocius semper est id quod in æquali tempore cum tardo plus transit de magnitudine. Velocius autem et tardius convenit in omni proportione se habentes ad invicem magnitudines transire : possunt enim esse in proportione dupli et in proportione emyolia, quæ sexquialtera ab Quæ sit emyolin arithmeticis vocatur, quæ est, quod proportio. unum contineat totum alterum et mediam ejus partem insuper. Est enim in Græco τίμ: dimidium, et δλον totum : et inde componitur emyolium, quod est continens alteram partem et totum. Ponamus ergo in istis proportionibus se habere duas magnitudines ad duo puncta, et sit hæc proportio velocioris ad tardum : et in eodem tempore adducatur velocius secundum emyoliam proportionem, et dividantur magnitudines secundum atoma sive indivisibilia, ex quibus dicuntur componi, ita quod linea significans magnitudinem cujus motus significatur perABCD, et dividatur in tres atomas A B : B C : C D ; et super illam sit motus velocioris. Magnitudo autem super quam est motus tardioris significetur per lineamEZIdivisam in duos atomos E Z : Z I ; quia tria ad duo se habent in proportione emyolia, in qua proportione positum est se habere velocius ad tar-

<--- Page Split --->

dius. Positum autem est quod tempus sit unum, et unus motus utriusque. Et quia nos supra posuimus, quod tempus necesse est dividi secundum divisionem magnitudinis, et e converso : tunc tempus in quo velocius transit lineam trium atomorum, necesse est dividi in tres atomos componentes totum tempus motus sui : quia aequale spatium transit aequaliter velox in aequali tempore : et ideo in quanto transibit primum atomum spatii, in tanto transibit secundum et tertium : ergo tempus tres aequales atomos habebit. Signetur ergo totum tempus perklmn, et dividatur in tria divisibilia, quae sunt l m n. Sed eadem ratione idem tempus quod etiam mensurat motum tardi perezlmagnitudinem secabitur in duo, sicut secatur sua magnitudo in duo, quae sunt sub emyolia, ad tria quae sunt emyolia ad duo : et illa duo cum designent idem tempus cum tempore velocis, sunt sicut tria atoma velocis. Sed si aequaliter tardum transit aliquod spatium in tempore aliquo, mediatem illius spatii transibit medicitate temporis illius : ergo tardum quod transitezispatium in toto temporeklmn, medietatem transibit in medietate illius temporis : sed dimidium illius temporis sunt unus atomus et dimidius : ergo atomus temporis dividitur. Idem autem sequitur si tempus trium atomorum dividatur in duo aequalia, sicut dividitur magnitudo, quod transit tardum : quia tria atoma non dividuntur in duo aequalia, nisi per unum et dimidium, et per unum et dimidium : et sic sequitur, indivisibile dividetur et impartibile. Constat enim, quod tardum medietatem sui spatiinon transit in uno atomo totius temporis, sed in pluri : cum aequalia spatia transeat in temporibus aequalibus. Manifestum est igitur ex omnibus prehabitis, quod nihil continuorum neque in partibus neque in toto est partibile. Figura autem linearum hoc modo probatur, ut primo ponatur linea velocis in tria divisa significata per quatuor lineasabcd,

deinde linea temporis significata per tria momentaklmn, deinde linea tardi significata per duo atoma quae sunt e z i, sicut hic vides, et debet referre ad motum velocis et ad motum tardi, et ad partes utriusque motus.

CAPUT VII.

De probatione, quod idem nunc et indivisibile est in toto tempore.

Et quia jam nos ostendimus continuum non componi ex indivisibilibus, oportet nunc nos loqui de nunc indivisibili, quod accipitur in tempore, utrum sit unum et idem, ut postea videamus an in ipso possit esse motus. Si enim ipsum sit indivisibile ut unum, tunc si dicatur motum esse in ipso, et motum esse indivisibilem : et hoc nos ostendemus in sequentibus esse falsum. Dico ergo quod duplex nunc est in tempore : unum quidem secundum seipsum nunc dicitur, et alterum quod est tempus breve compositum ex præterito propinquo ad præsens, et ex futuro quod conjungitur propinquo præsenti : et hoc vulgariter nunc et apud Grammaticos dicitur, ideo quia præsens componitur ex præterito et futuro : et hoc non secundum seipsum vocatur nunc, sed secundum alterum quod est præsens : quia habet conjunctionem cum parte præteriti et cum parte futuri : et cum nos quærimus, utrum idem sit ? intelligimus de eo quod secundum seipsum dicitur nunc : et hoc est idem simplex, quod solum de tempore potest accipi.

<--- Page Split --->

De illo ergo loquentes dicimus, quod 24. necesse est in ipso nunc, quod non secundum alterum, sed secundum scipsum et principaliter nunc dictum est esse indivisibile, et ratione necesse est quod hoc in omni tempore sit idem ipsum : et nos quidem ostendemus quod ipsum est idem, et ex hoc concludemus quod est indivisibile. Quod autem sit idem, sic probatur. Cum enim duo tempora, scilicet præteritum et futurum, continuentur aliquo quod est finis unius et principium alterius, eo quod omne continuum sic continuatur, oportet quod aliquid sit ultimum præteriti, ita quod nulla pars præteriti sit, et quod aliquid sit ultimum futuri, ita quod nulla pars futuri sit : et ideo ultimum continuans utrumque. In præterito quidem nihil est futuri per modum partis, et in futuro nihil est præteriti : et quod sic neutrius pars est, hoc esse diximus in quarto libro terminum utriusque : quia est finis unius et principium alterius : sic utrumque tempus terminatur ad ipsum.

Probmus ergo quod necesse est idem Text. et 26. esse ipsum nunc quod est terminus utriusque temporis. Si enim non est idem, tunc dabitur quod alterum est. Si autem alterum est, cum sit in tempore, oportebit quod illa nunc quae altera sunt in tempore, aut immediate se consequantur in tempore, et tangant se in ipso, aut non immediate sequentur, ita quod sint separata per aliquid ipercidens medium inter ea. Si autem detur quod nunc quae altera sunt consequenter se tangunt in continuo tempore, tunc oportet per ea quae in principio hujus sexti dicta sunt, quod continuum tempus sit ex indivisibilibus : et quae consequenter se tangunt in continuo, uniuntur per formam continui : hoc autem est impossibile, quod continuum sit ex indivisibilibus : ergo nunc altera non sunt consequenter in continuo tempore. Si autem esse dicantur separata ab invicem in continuo tempore, tunc oportet quod aliquid inter ea incidat medium sui generis. Medium autem oportet quod sit de genere extremorum : et ideo inter duo non incidit medium nisi tempus : omne enim continuum talis naturae est, quod oportet quod inter duo extrema sit medium, quod est de genere illorum extremorum : unde inter duo puncta non intercidit punctum, sed linea, et inter duas lineas non intercidit nisi superficies, et inter duas superficies non intercidit nisi corpus : cujus causa est, quia continuum fluit ab indivisibili : et ideo ab indivisibili quod est unius generis, non fluit continuum quod est alterius generis. Sic ergo cum omne medium intercidens inter duo indivisibilia sit unicum et unius generis cum ipsis, oportet quod etiam inter duo nunc separata non intercidat nisi tempus. Indivisibile enim non intercidit nisi inter duo indivisibilia : quia sic indivisibile consequenter esset in divisibili, et sequeretur idem quod prius. Constat autem quod si tempus intercidat medium, hoc tempus est divisibile. Ostensum est autem quarto libro

Si ergo demonstretur quod talis est 25. terminus hujus per se, et quod nihil futuri in præterito, et nihil præteriti in futuro, et quod est idem ipsum secundum sensum, licet differat in ratione, secundum quod est finis unius, et principium alterius, tunc simul cum illo declaratum est, quod idem nunc est indivisibile : quia si esset divisibile, cum ipsum sit tam futuri quam præteriti terminus, oporteret etiam quod esset pars utriusque temporis : quia id quod dividi potest, est pars quantitativa continui : et sic cum sit causa præteriti et futuri, ut dictum est, sequeretur quod alia pars præteriti esset in futuro, et quod alia pars futuri esset in præterito : et ideo necessario sequitur, quod si idem est in præterito et futuro, quod sit indivisibile, nec pars præteriti, nec pars futuri.

<--- Page Split --->

hujus scientiae, quod omne corpus est divisibile. Si ergo dicatur hoc totum esse nunc, scilicet duo indivisibilia diversa cum tempore quod intercidit, sicut ponit adversarius ipsum nunc esse divisibile : et si ipsum nunc est indivisibile, tunc erit in tempore, sicut pars continui temporis. Est autem ipsum in praeterito et futuro : ergo in praeterito est aliquid quod per substantiam et subjectum pars futuri est, et in futuro est aliquid quod est pars praeteriti : quia illud nunc necesse est componi ex praeterito, prasenti et futuro : ergo aliquid factum est in futuro, et aliquid futurum est in facto : ex quo sequitur quod illud quod jam praeterit et est perfectum, fit adhuc in potentia ad hoc quod fiat et futurum sit: quod est valde inconveniens. Hoc autem totum sequitur ex hoc, quod nunc secundum quod dividitur praeteritum a futuro, eo quod est principium unius et finis alterius, determinat praeteritum et futurum in utroque per aliquid existens idem in subjecto.

non est idem simul, non est continuatio partium temporis ad idem : et sic tempus erit non continuum.

Si enim dicatur nunc prædicto modo Text et com. 28. componi, tunc est divisibile in multa sicut tempus : quia omne tempus in multa potest dividi : quia si omnia hæc impossibilia est convenire ipsi nunc, tunc oportet dicere quod idem est nunc quod est in utroque tempore, scilicet futuro, ut terminus utriusque existens : et si idem est, tunc manifestum est quod est indivisibile. Si enim esset divisibile, tunc oporteret quod componeretur ex tempore intercidente : et tunc contingerent eadem inconvenientia quæ dicta sunt prius. Unde indivisibile ipsum esse per se manifestum est, et ex indivisibilitate sua probatur esse idem secundum substantiam suam, licet diversas habeat rationes secundum quod est finis unius et principium alterius. Manifestum est igitur ex his quæ dicta sunt, quod aliquid est in tempore quod est indivisibile, et idem quod vocamus ipsum nunc.

Text et com. Adhuc sequitur aliud inconveniens, et 27. est hoc, quod nunc quod sic separatur a nunc per tempus intercidens, nunc non est per se -dictum, sed dictum per alterum : quia per illud nunc non est divisio unius temporis ab alio, cum ipsum componatur ex utroque : quia in principio hujus capituli posuimus nos de ipso velle investigare. Adhuc autem et tertium sequitur inconveniens : quia ipsius nunc quod posuimus esse indivisibile, aliquid est factum, et aliquid est futurum, et non semper est idem quod factum est, et quod futurum est : quia id quod factum est, abiit et non est : id quod futurum est, nondum est : et sic ex duobus non entibus componitur nunc, quod habet entitatem solum in tempore, quod est valde inconveniens. Sequitur autem adhuc quarto, quod ipsum continuans partes temporis non est idem simul : et si ipsum

CAPUT XIII.

Quod nihil movetur neque quiescit in tempore.

Quod autem in indivisibili temporis Text et com. 29. nihil movetur, ex his quæ dicentur, erit manifestum. Si namque detur aliquid moveri in ipso, tunc per ea quæ dicta sunt, oportebit dare quod aliquid movetur in ipso velocius, et aliquid tardius. Signemus igitur quod nunc, in quo ponitur aliquid tardius et velocius moveri, per litteram x : id autem quod movetur in ipso velocius, moveatur in nunc per

<--- Page Split --->

spatium a B lineæ. Totum ergo per ante dicta tardius in eodem nunc movebitur per minus spatium quam velox. Dicatur igitur, quod tardum in nunc transit partem a B spatii : et illa pars significetur per a G. Sed constat quod etiam velox movetur per partem illam spatii quæ est a G. Cum ergo tardum transeat illam partem spatii in nunc, velox transibit in minori tempore quam sit nunc : ergo nunc est compositum ex breviori et longiori tempore : et hoc jam ostendimus esse impossibile : ergo non potest dici motus esse in nunc. Lineæ autem hujus demonstrationis sunt duæ.

At vero neque quiescere convenit aliquid in nunc, et hoc probatur primo per diffinitionem quietis quam posuimus in quinto libro hujus scientiae. Ibi enim diximus, quod id quiescit quod in natura materiae habet moveri, et tunc quiescit quando et ubi aptum natum est moveri. Sumamus igitur illam partem diffinitionis hujus, quæ est quando aptum natum est moveri quod tunc quiescit : sed in nunc nunquam aptum natum est moveri : ergo in nunc nunquam quiescit.

Amplius autem si idem est nunc in Text, et eo 31. utrisque, sicut jam ante probavimus. Constat autem si duo tempora accipiantur, quorum unum est præteritum, et alterum est futurum, convenit aliquid in toto præterito moveri, et in toto futuro quiescere. Si ergo detur posse moveri in nunc, et posse quiescere in nunc, tunc oportet concedere quod cum movetur in præterito toto, quod movetur etiam in extremo nunc præteriti: et tamen quiescit in futuro toto, quod quiescit etiam in nunc, quod est principium futuri : sed unum et idem nunc secundum substantiam est postremum præteriti et principium futuri : ergo in uno et eodem nunc per substantiam movetur et quiescit aliquid, quod est impossibile : ergo et hoc est impossibile quod aliquid quiescat in nunc.

Amplius quiescere quidem dicimus aliText, et eom, 32. quid quod similiter se habet in toto et in partibus, et nunc et prius. Sed in ipso nunc indivisibili non est prius, quare neque quiescere. Necesse est igitur omne quod movetur, moveri in tempore, et omne quod quiescit, necesse est in tempore quiescere.

<--- Page Split --->