CAPUT IV.

In quo inducuntur contra lineas indivisibiles rationes sumptæ ex natura divisionis.

Possumus autem ad idem aliter adducere impossibilia sumptæ ex his quæ

<--- Page Split --->

sunt de ratione lineæ. Est enim ejus quod est impartibile, non nisi unus, hoc est, secundum unum contactus. Sed linea in duobus contingit : et ideo duos contactus habet, quia linea indivisibilis tangit totum. Indivisibile enim omne si tangit, oportet quod tangat totum, sicut in principio sexti Physicorum probatum est. Sed linea quæ est longitudo inter duo puncta, tangit e contrario : quia secundum duos terminos tangit, et non tota totam. Amplius linea talis est qualem dicunt, opposita alii non facit majorem lineam : eo quod impartibilia composita non faciunt majus aliquid. Linea autem vera composita lineæ facit majus, sicut omne quantum adveniens quanto. Amplius ex duobus impartibilibus nihil potest fieri continuum, ut probatum est in sexto : eo quod omne continuum oportet habere plura in sui natura quam impartibilia. Omnis autem linea una est continua circa indivisibile : quia ad indivisibile continuans et terminans in suis partibus continuatur. Ergo nulla linea una est indivisibilis. Amplius si omnis linea dividitur de indivisibili linea quæ est in ipsa, sive dividatur æqualiter, sive inæqualiter, hoc est, per inæqualia, et non sit linea aliqua ex tribus indivisibilibus, neque universaliter ex superfluis indivisibilibus, sed ex duabus, propter quod ultima divisio stat in duo facta æqualia. Tunc quæramus ab istis, quare dicant lineam indivisibilem esse ? Similiter autem si dicamus lineam dividi in duas partes : eo quod omnis linea composita ex superfluis dividitur : tunc eadem restat quæstio, quare dicunt indivisibiles esse lineas ? et dicitur ex superfluis dividi, quia dividitur in infinitum : eo quod in tali divisione semper aliquid dividendum superfluit divisioni.

Si autem dicant quod non omnis linea dividitur tantum in duas partes, sed illa sola tantum dividitur in duas partes quæ est ex perfectis lineis, hoc est, ex lineis quæ perfectam habent rationem linea-

rum, hoc est, quod sint indivisibiles : tunc adhuc restat quæstio, qualiter aliqua linea sit indivisibilis ? cum sit species quantitatis quæ divisibilis est semper. Linea enim divisa in duas partes, dividetur in ea quæcumque tantum possibile est iterum dividere, sicut evidenter probatur per rationem continui, quæ est, quod continuum est quod dividitur sempiterna et infinita divisione. Sic ergo indivisibilis dividetur, si dabitur quod linea ex perfectis lineis constans dividitur in perfectas lineas, et illæ ulterius, et nunquam stat divisio : ergo indivisibiles lineæ sic dividentur. Si autem dicatur quod linea in duas partes per æqualia divisibilis est, illa quæ constat ex perfectis, tamen illa quæ constat ex imperfectis lineis, quæ sunt elementa perfectarum linearum, et sunt indivisibiles, non potest dividi per æqualia : quia illa habet aliquam perfectam : et ideo dividitur per inæqualia, quia imperfecta linea est semper pars : et est indivisibilis quæ non est æqualis perfectæ, quæ est vel esse potest totum in genere lineæ. Si, inquam, sic dicatur, adhuc restat eadem quæstio, qualiter alia linea sit indivisibilis ? cum enim dividitur per inæqualia, constat tamen quod dividitur per longæva, eo quod omne quod accipitur ex divisione lineæ,linea est : omnis autem linea divisibilis est secundum medium punctum : medium autem punctum non est continuum cum punctis extremis, sed potius potentia est linea quæ distenditur inter extrema puncta : et sic patet manifeste, quod nullo modo rationem reddunt hujus quæstionis, qualiter autem linea sit indivisibilis ?

Rursus ad idem ratione motus objiciemus. Constat enim ex his quæ dicentur in octavo Physicorum, quod si aliquid regulariter motum movetur per spatium aliquod in toto tempore signato, quod in medio illius temporis movetur per medietatem ejusdem spatii, et in ninnori parte temporis illius quam est medietas, movebitur per minorem par-

<--- Page Split --->

tem quam sit medietas spatii : quare siquidem detur longitudo alterius spatii componi ex superfluis indivisibilibus, hoc est, pluribus indivisibilibus quae superfluunt divisioni, tunc non est verum de motu per spatium, sed potius aufertur incisio per medium : quia superfluum quod est pars spatii per divisionem acceptum et est indivisibile, non potest dividi per medium tempore motus diviso. Et bene dico, quod aufertur : quia habitum est quod in medio tempore transit medium : eo quod secundum unam similitudinem, et tempus, et linea super quam est motus, dividuntur. Cum igitur inconveniens sit hoc, ut in sexto Physicorum ostendimus, neque una oppositarum linearum dividetur modo prædicto, hoc est, per æqualia quæ sunt perfectæ lineæ, et per inæqualia vel quæ sunt elementa linearum, constat jam per dictam rationem, quod sicut in se non dividuntur modo prædicto lineæ, ita etiam non dividuntur temporum motus divisione : ergo nullæ erunt indivisibiles lineæ. Quæ autem ejusdem rationis sunt inter species quantitatis continuæ secundum genus suum, convenit omnia facere ex impartibilibus linies. Licet enim impartibilis linea componat lineam perfecctam, tamen quia dicunt lineam perfectam componere planum, et planum dicunt componere corpus, ideo convenit necessario, quod hæc omnia sicut ex primis componentibus sint ex impartibilibus lineis : et ideo hoc per istam considerationem objiciemus contra eos. Dico ergo primo sumens rationem ex linea et sibi propriis, quod omnis linea non infinita duos habet terminos : eo quod linea his terminis terminata est, sicut patet ex diffinitione lineæ : indivisibilibus autem linea non est infinita : ergo habebit terminum duplicem in extremis : ergo aut est divisibilis, quia terminus semper est alterius quam sit terminus, est enim continuæ

longitudinis : aut oportet dicere, quod erit alia linea quæ est præter hanc quam videmus lineam, quæ neque infinita est, neque terminata : et hoc est figmentum quod imaginari non potest neque esse : quia non terminatum vel terminatum esse contradictionis modo opponuntur circa lineam.

Amplius secundum dicta non erit in omni linea punctum, quia in indivisibili linea non est punctum : eo quod indivisibilis non est indivisibile : quia iretur in infinitum. Et siquidem sic dicatur, quod non est punctum terminans lineam indivisibilem, tunc necessario sola seorsum existet linea talis : et deinde separatum etiam existet punctum : una enim erit sola secundum hoc linea. Pluralitas enim omnis provenit, aut ex divisione formali, aut ex divisione continui 1. Ex divisione autem formali provenit, sicut differentiae sunt plures et formæ plures in eodem genere. Ex divisione auten continui provenit sicut individua plura sunt in eadem specie. Si autem linea fingatur esse sine puncto, tunc neutro modo habebit pluralitem, quia linea aliena non differt formaliter : nec linea potest dividi aliena divisione continui, quia linea non est divisibilis nisi in puncta : et jam ponitur ex puncto esse universaliter separata : ergo erit sola et unica. Si autem plures sint lineæ, tunc oportet per jam dictam rationem, quod divisibilis sit linea. Adhuc autem siquidem in indivisibili linea dicatur non esse punctum, tunc sequitur universaliter in nulla linea esse punctum secundum istos : quia ipsi dicunt alias lineas ex indivisibilibus constare, et nihil amplius componere essentias earum nisi lineas indivisibiles : et hoc est inconveniens. Amplius autem nihil omnino de genere continui erit intermedium punctorum, aut oportet quod linea sit medium : quia inter duos terminos non

<--- Page Split --->

oportet aliquid intelligi esse nisi terminatum. Si autem hoc detur quod linea est intermedium punctorum, cum in omni linea sint plura puncta secundum rei veritatem et probationem jam inductam, non potest aliqua linea esse indivisibilis : quia secundum omne punctum divisibilis erit. Amplius si sunt lineæ indivisibiles, non omnis lineæ erit tetragonum, quod est inconvenientissimum, cum omnem lineam contingat in se duci, et sic necessario una posita linea tetragonum generari. In hac enim generatione simplicius est tetragonum quam trigonum. Si autem tetragonum, tunc necessario sequitur quod sit dicendum, eo quod longitudinem habet et latitudinem : quia hoc quidem tetragonum est hoc aliquid quod est indivisibile esse, propter suas essentiales dimensiones. Si autem tetragonum est divisibile, tunc necessario etiam linea ex qua generatur erit divisibilis : quia tetragonum non habet longitudinem et latitudinem, nisi ex longitudine lineæ ex qua generatur. Amplius constat quod terminus lineæ necessario erit punctum et non linea : quia si linea esset terminus lineæ, oporteret ire in infinitum : unde linea non erit terminus. Illa autem linea quæ est extremum per hoc quod ponitur indivisibilis simpliciter, cum omne indivisibile simpliciter terminus sive extremum sit, est linea indivisibilis : ergo si illa linea, habebit punctum : et si est indivisibilis omnino, non differt a puncto : ergo punctum erit terminus puncti indivisibilis. Et sequitur etiam quod linea punctum, hoc est, quæ est punctum, sit minor vel major linea puncto : quia terminatum majus est termino : ipsa autem et terminus est et terminatum. Si autem dicatur, quod lineæ indivisibili inest punctum, propter hoc quod unum et idem est terminus continuantium, hoc est, continuitatem habentium linearum, tunc oportet etiam quod indivisibili lineæ non sit punctum, cum supponatur esse continua. Et universaliter loquendo,

oportet quod in aliquo differat punctum a linea : quia secundum istos nihil habebit proprium indivisibilis linea per quod differat a puncto, præter nomen solum : et hæc omnino inconvenientia sunt. Amplius si linea dicatur indivisibilis, tunc similiter planum manet indivisibile: et similiter corpus ex planis compositum est indivisibile. Uno enim istorum ente indivisibili, oportet quod consequenter omnia alia sint indivisibilia, propter hoc quod si unum istorum dividitur, utrumque aliorum consequenter sequitur dividi. Corpus autem secundum utramque divisionem scilicet lineæ et plani quæ sunt in ipso, dividitur, et secundum profundum et secundum latum : ergo utique linea erit indivisibilis. Corpus enim secundum planum, ut isti dicunt, dividitur. Planum autem dividitur secundum lineam, et ulterius linea dividitur secundum punctum. Corpus enim non secatur nisi in superficie, et superficies in linea, et linea in puncto, propter hoc quod unumquodque in suo indivisibili dividitur : corporis indivisibile est planum, eo quod non dividitur ratione corporis in profundum : et plani indivisibilis est linea, eo quod dividitur divisione plani in latum : et lineæ indivisibile est punctum, quia non dividitur omnino aliqua divisione. Linea autem dividitur divisione una, et planum duabus, et corpus tribus.