CAPUT II.
te sint circa lineam, sicut affirmatio et negatio, et non conveniant lineis indivisibilibus : constat lineas indivisibiles nullas esse, quia secundum differentias inductas nullas habebunt naturas convenientes lineis geometricis, de quibus demonstrationes fiunt. Sed si habebunt eas, tunc non habebunt eas nisi ad invicem, ita scilicet ut una indivisibilis in comparatione ad aliam indivisibilem dicatur rationalis, vel muta, vel commensuralis, vel incommensurabilis, vel communicans, vel incommunicans, et sic de aliis decem differentiis linearum.
De solutione rationum inductarum de lineis indivisibilibus.
Sed his rationibus obviantes, primo ostendemus inconveniens esse quod dicitur, quod si aliquid quod est mensuræ differentia vel passio, dividit lineam quamdam separatam et indivisibilem, sicut jam dictum est, sicut dividitur linea in rectam, et obliquam, et commensurabilem, et incommensurabilem : tunc absque dubio illud quod dividit hanc lineam indivisibilem in differentias, non erit aliqua differentiarum quæ ponitur in geometria. Quædam enim in libro decimo Geometriæ dicuntur lineæ dicibiles sive rationales, quibus positis et datis ratiocinantur. Quædam autem dicuntur indicibiles, sive mutæ et irrationales, quibus positis et datis ratiocinari non possumus. Et hoc modo dividuntur lineæ in decem ordines in geometria, sicut patet intuenti decimum Euclidis : quia hic longum esset ista prosequi : et etiam hic non indigemus eis, nisi quod sciamus quod illa quæ dividunt lineas in geometricis, non possunt dividere lineas indivisibiles, neque convenire eis. Cum ergo illa quæ lineam dividunt ex duobus nominibus sub abcisione sive disjunctione conveniant omnibus lineis : eo quod immedia-
His autem habitis, dicamus primo ad primum respondentes, quod non est necessarium quod dicunt, scilicet quod illud quod sit parvum vel paucum, quod infinitas habeat divisiones partium. Et est instantia eorum dicti in proposito : quia in alio non invenitur in quo instantia fieri posset. Nos enim dicendo de loco et de magnitudinibus sensibilibus quas dicunt esse compositas, quod sint parva et pauca, dicimus quando congruit hoc dicere de quantitate eorum : non tamen dicimus sicut illi, quod hoc sit eo quod habeat paucas partes finitas numero et potentia. Sed dicimus quod habet infinitas potentia, licet paucas habeat actu : et hoc ipsi distinguere nesciverunt. Amplius autem si, ut aiunt illi, in lineis compositis sunt quædam lineæ de his indivisibilibus quas ipsi dicunt esse : tunc de illis indivisibilibus dicitur parvum et paucum, cum tamen in linea illa sint infinita puncta secundum eos actu. Lineæ enim divisio etiamsi non concedatur dividi in lineas, tamen est secundum puncta : et est divisio ejus secundum unam similitudinem secundum qualecumque punctum : quia una est ratio divisionis in quolibet : et ideo secundum quodcumque divisibile est linea : ergo infinitas habebit divisiones linea secundum positionem earum, sicut prius. Omnis autem linea utique non indivisibilis est : et tamen quædam secundum istos dividuntur in parvas, et sunt infini-
<--- Page Split --->
Aller suptæ per divisionem, et tamen paucæ. Superordinatum est jam a nobis omnem lineam dividi, et nullam lineam indivisibilem esse. Ergo nihil est quod dicunt de parvo et pauco.
Amplius omne magnum ex parvis quibusdam componitur : propter quam rationem etiam magnum et parvum non dicuntur opposita esse secundum rem : nihil igitur erit magnum : vel oportet dicere, quod ex prædeterminatis quibusdam parvis sit compositum : et si tunc parvum terminatas divisiones habet, ut dicunt, tunc aut nihil erit magnum secundum eos, aut oportet dicere quod illud non sit magnum quod habet divisiones partium terminatas : quia hæc est ratio parvi secundum eos. Omne enim totum habet partium divisiones sicut et partes habent suarum partium divisiones : et ideo si parva sunt partes magni, tunc oportet quod magnum habeat divisiones partium parvi : divisiones parvi autem sunt finitæ, ut dicunt : igitur divisiones magni sunt finitæ : sed hæc est ratio parvi : ergo parvum est magnum : vel oportet dicere quod magnum non componitur ex parvis, si ipsi dicunt quod rationale est parvum habere partes determinatas et finitas, et magnum quod componitur ex parvo significant habere divisiones partium infinitas : quare manifestum est quod secundum rei veritatem, non potest dici magnum et parvum in hoc quod est determinatas et finitas habere partes, et in hoc quod est habere partes indeterminatas et finitas. Si autem induxit eos ad dicendum in lineis esse parvum ex paucis et finitis partibus esse, et videtur eis hoc esse dignum ad dicendum istud, quod in numeris vident paucum habere partes et divisiones habere terminatas, hoc est stultum : quia non sunt eadem principia generationis ex quibus est discretum, sicut numerus, et ex quibus est continuum, ut linea. In numeris enim ex indivisibilibus unitatibus aggregatis est generatio numeri, et illud impartibile est quoddam determi-
natum in genere discreti : et ideo omnis numerus qui non est infinitus, terminatas et finitas habet divisiones. In magnitudinibus autem non est similis compositio, et ideo in his divisio procedit in infinitum.
Non est autem simile etiam in formis et speciebus quas dicunt Platonici, et tamen illi qui ponunt species esse ideas horum, accipiunt axioma quod est minus forte quam illud quod oppositum est : et secundum quemdam modum interimunt indivisibiles lineas per eadem quae ostendere intendunt eas esse : et e converso per hanc rationem species et ideæ interimuntur : et ita utrumque interimitur per reliquum. Si enim sunt ideæ, ut dicunt, separatæ, illas impossibile est intrinsecas rebus esse : ergo non sunt partes linearum, ut dicunt : et ita per eadem interimunt species, per quæ probare volunt : et e converso, si puncta in lineis sunt indivisibiles partes earum, tunc impossibile est quod sint species ideales eodem modo se habentes : idea enim est una unius : sed unius et ejusdem parvi plures suht indivisibiles lineæ, licet finitæ : et ideo istud axioma nihil habet fortitudinis.
Rursus autem dicere dignum esse, quod indivisibilia quaedam sint prima corporalium elementorum, est stultum : quamvis enim rursus quidam sic enuntient, tamen ad subjectam intentionem, hoc est, propositum, problema sumunt id quod est ex principio. Id enim quod a principio probandum est, hoc est, utrum sint indivisibilia quaedam ex quibus continuum est : et hoc ipsi sumunt in corporalibus elementis esse. Magis est autem contra eos qui quanto magis ipsi sumunt id quod est ex principio, et non possunt probare intentum vera probatione : tanto magis videbitur verum esse oppositum, scilicet quod omne corpus compositum sit et divisibile tripliciter, scilicet secundum linearum longitudines quae sunt in ipso, et secundum molem profundi quod est in ipso, et secundum
<--- Page Split --->
distantiam latitudinis superficiei quae est in ipso.
Zenonis autem ratio non concordat ad propositam intentionem in hoc quod dicit, quod id quod est latum sive motum per spatium, non tangat infinita in tempore terminato et finito. Sic enim et secundum eumdem modum et tempus et longitudo habent se ad esse infinitum, et esse finitum et terminatum, et tantas et tales habet divisiones unum sicut alterum : sicut etiam supra diximus in sexto Physicorum.
Neque etiam utique verum est quod dicunt, quod hoc sit numerare quod est singulum infinitorum tangere secundum mentem, nisi actu tangeret. Tangit enim ea mens in potentia divisionis tantum : et ideo hoc non est ea numerare : quia ea quae numerantur tactu mentis, secundum actum sunt finita. Dubitatio enim est, utrum etiam quis intelliget hoc modo secundum mentem quod contingat infinita. Est enim forte hoc impossibile : sed alibi, hoc est, in tertio de Anima habet dici 1, quia absque dubio nunquam intelligens numerando pertransit infinita. Non enim est motio mentis per intellectum exiens spatium continuum et sibi subjectum super quod moveatur, sicut exigit id quod fertur corporaliter secundum locum : sed potius mentis motio est per intentiones specierum citra. Et si concedatur mens sic pertransire per continuum, hoc est numerare partes numeri secundum actum. Numerare enim est quod est cum scientia rerum secundum actum diversarum. Spatium autem non dividitur nisi potentia.
Sed fortassis inconveniens est quando aliquis non potest solvere rationem aliquam, quod cedat et serviat d<bilibus positionibus quae sunt contra sensum, et quod aliqui velint decipere seipsos contra hoc quod nuntiat eis sensus. Decipiunt enim isti seipsos secundum majores
deceptiones, quam sint illae quas timent, et adjuvant impotentiam suam ut fiat fortior. Quando enim Zeno nescit solvere qualiter id quod fertur, transit spatium prius tangendo medium quam extremum. Et quando Democritus nescit rationem illam solvere, quod prima componentia sint indivisibilia. Negat Zeno motum, quod est majus inconveniens. Et ponit Democritus corpora indivisibilia vel lineas, quod est magis inconveniens quam id quod incidere timet. Qualiter autem solvantur rationes Zenonis, in sexto Physicorum supra scriptum est. Democriti autem ratio in libro Perigeneos habebit solutionem 2. Quod autem objiciunt per geometricas rationes de lineis commensurabilibus, quod scilicet omnes uno et eodem mensurantur, sophisticum est, et nequaquam concordat cum eis quae in mathematicis supponuntur. Non enim sic supponunt mathematici, quod lineae indivisibiles sint quae mensurant lineas commensurabiles : neque utile esset eis ad suas demonstrationes, cum non demonstrent nisi de lineis divisibilibus in lineas. Simul etiam cum dictis et etiam totum contrarium supponunt mathematici, et contrario modo omnem quidem lineam dicunt fieri, hoc est, divisibilem in partes divisibiles. Convenit autem etiam datis lineis indivisibilibus quas ponunt esse propter commensurationem adhuc significare lineam secundum quam commensuratio fit. Non enim probatur in geometricis commensurabilitas linearum per lineam indivisibilem, sed potius per lineam divisibilem in infinitum : et sic inutilis est positio linearum indivisibilium, ex quo positis illis adhuc inquiritur de aliis secundum quas fiat commensuratio. Quare hoc quod dicunt, ridiculum est : quia secundum opinionem eorum etiam ex quibus dicunt dicentes se ostendere, probatur quod a veritate declinant se ad
<--- Page Split --->
Deinde etiam si sunt indivisibiles lineae, inter omnes lineae erunt commensurabiles et communicantes. Omnes enim mensurabuntur ab indivisibilibus lineis, sive longitudine sint commensurabilisive potentia et non communicant- , sine commensurabiles et communicantes. Dicuntur autem lineae communicantes sive commensurabiles in longitudine, ut habetur in X Euclidis, quibus est una quantitas communis eas numerans. Communicates autem et commensurabiles potentia dicuntur, quarum superficiem quadratam una superficies communis numeret. Si autem sunt indivisibiles lineae, ut isti dicunt,omnes erunt commensurabiles, per hoc quod indivisiles lineae, ut isti dicunt, omnes sunt aequales : eo quod una non potest esse major vel minor alia, cum sint indivisibiles : ergo et potentia sunt commensurabiles : quia si quadrata fiat ex eis, numerat superficies illas alia superficies aliqua ex indivisibilibus lineis constituta per hoc quod sit aequalis illis. Si autem hoc detur, tetragonum constitutum ex indivisibilibus erit divisibile: et hoc non est intelligibile, qualiter divisibile componatur ex indivisibilibus. Necesse est autem dividi tetragonum quod aliqua superficie numeratur. Omne enim quod numeratur, dividitur : quia sicut diximus in prehabitis in tertio Physicorum, divisio est causa numeri, quia per numerum cognoscimus divisionem continui.
ductu lineæ indivisibilis in pedalem circumponatur superficiei quadrata : quæ sit ex ductu lineæ bipedalis in soipsam, minorem fœt latitudinem, quam si sola pedalis in se ducta eidem quadratae superficiei circumponeretur : tunc sequitur necessario, quod id quod producitur ab indivisibili linea, minus sit quam impartibile. Et hoc sic declaratur : ponamus lineam bipedalem in se duci, et quadratum ex ea constitui, sicut docetur in secundo Euclidis. Fiat autem aliud quadratum ex ductu pedalis in se, et circumponatur quadrato primo bipedalis lineæ : constat quod constituitur major latitudo ex duobus quadratis sibi circumpositis et conjunctis quam fuerat latitudo unius solius. Est autem suppositio geometrica in secundo Euclidis, quod omnis linea in se et in quamlibet aliam duci potest, et ex producta parallelogramnum constitui. Si ergo aliqua est linea indivisibilis ex indivisibili linea et pedali in se ductis constituetur quadrangula superficies æquidistantium linearum, quæ superficies parallelogrammum vocatur. Cum autem omnes quadrangulæ superficies æquidistantium linearum latitudo tanta sit, quanta est mensura laterum in se invicem ductorum, oportet quod quadrangulum quod fit ex ductu pedalis in indivisibilem lineam, indivisibilis sit latitudinis et nullius : illud autem quod nullius est latitudinis, circumpositum cuicumque quadrato, non facit latitudinem majorem, sed potius minorem quam si sola linea bipedalis in se duceretur : ergo quadratum constitutum ex indivisibili linea et pedali minus est quam ipsa linea impartibilis : quia linea impartibilis ponitur finitæ esse quantitatis et primæ : productum autem nullius est quantitatis. Hoc ita dato, si quadrangulum minorem habet quantitatem quam impartibilis linea, ergo aliquid est minus impartibili : ergo linea impartibilis dividitur : et hoc est impossibile, sicut sæpe in sexto libro Physicorum ostendimus.
Amplius si ex quibuslibet tribus datis
<--- Page Split --->
rectis lineis constituitur trigonum, sicut probatur ex primo Euclidis, tunc etiam ex tribus indivisibilibus constituetur triangulus. Hoc habito procedatur ulterius: quia in omni triangulo isopleuro, hoc est, qui duo æqua habetlatera, cathecus cadit in mediam lineam, quæ est inter duas: quia in eo linea recta vocatur cathecus. Erectam autem dicimus inter inferiorem et superiorem. Hypothenusa autem est descendens a summo catheci, et basis est jacens subtus cathecum: tota ergo hæc dispositio etiam est lineis indivisibilibus trianguli: et hoc est impossibile etiam fingere volenti: quia indivisibile cum indivisibili nullum constituit angulum, nec indivisibile est medium duorum indivisibilium, nec indivisibile erigitur super indivisibile, nec indivisibile inæquale est indivisibili, sicut isopleurus duo habet latera æqualia, et tertium habet inæquale.
Amplius in geometria probatum est, quod si fiat tetragonum, et dividatur per diametrum incidentem tetragonum, illud quadratum quod producitur ex diametro, est æquale quadrato catheci illius trianguli qui fit ex duabus collectis quadrati et diametro et medietate diametri. Totum enim quadratum quod fit ex diametro, est inæquale duobus quadratis, quæ fiunt ex duabus costis quadrati æqualibus, sicut probatur ex penultima et ultima propositione Euclidis: ergo illud quod fit ex medietate diametri, æquale est quadrato unius costæ quadrati: et id quod fit ex altero, æquale est alteri quadrato quod fit ex costa secunda: ergo id quod fit ex una costa et medietate diametri tantum, est sicut id quod fit ex duabus costis quadrati. Si ergo omnia hæc vera sunt, omnia hæc necesse est etiam accidere in quadrato et diametro quæ fiunt ex lineis indivisibilibus, hoc est quod si tetragonum impartibilium laterum componatur, et diameter in eo indivisibilis producatur per lineam incidentem eum per medium, fit cathecus ductus aliquod latus tetragoni, tunc opor-
tet quod costa, hoc est, quadratum costæ possit per æqualitatem in cathecum, hoc est, in quadratum catheci et in medietatem diametri. Utrisque enim quadratis divisim sumptis, et non conjunctim, æquale est quadratum costæ quadrati : et si hoc, tunc linea indivisibilis non est minima : quia expresse quadratum unius majus est quadrato alterius. Quadratum edim diametrum dupli est ad quadratum costæ. Si autem non est minima, tunc neque divisibilis est, neque prima : et etiam si dicatur indivisibilis, tunc non est verum quod duplum sit quadratum quod producitur a diametro ad quadratum alterius indivisibilis, quæ est costa alterius. Si enim dicatur duplum, tunc ablato a diametro et æquali quadrato quod æquatur quadrato costæ, id quod relinquitur erit minus quam prius fuit : fuit autem prius linea indivisibilis : ergo id quod remanet, minus est indivisibili : quod non est intelligibile. Si enim æqualiter æqualia costis addantur diametro, tunc absque dubio quadratum suum erit quadruplum unius laterum : ex se enim est duplum, et ei additur quod est æquale costis : et tunc erit quadruplum ad unamquamque costarum. Hæc igitur sunt impossibilia quæ sequuntur contra hanc opinionem : et de facili poterit aliquis contra eos conducere alia et alia impossibilia infinita : quia omnibus, sicut universaliter dicere possumus, quæ in mathematicis sunt, contrariantur ea quæ isti adversarii veritatis dicunt.