CAPUT II.

te sint circa lineam, sicut affirmatio et negatio, et non conveniant lineis indivisibilibus : constat lineas indivisibiles nullas esse, quia secundum differentias inductas nullas habebunt naturas convenientes lineis geometricis, de quibus demonstrationes fiunt. Sed si habebunt eas, tunc non habebunt eas nisi ad invicem, ita scilicet ut una indivisibilis in comparatione ad aliam indivisibilem dicatur rationalis, vel muta, vel commensuralis, vel incommensurabilis, vel communicans, vel incommunicans, et sic de aliis decem differentiis linearum.

De solutione rationum inductarum de lineis indivisibilibus.

Sed his rationibus obviantes, primo ostendemus inconveniens esse quod dicitur, quod si aliquid quod est mensuræ differentia vel passio, dividit lineam quamdam separatam et indivisibilem, sicut jam dictum est, sicut dividitur linea in rectam, et obliquam, et commensurabilem, et incommensurabilem : tunc absque dubio illud quod dividit hanc lineam indivisibilem in differentias, non erit aliqua differentiarum quæ ponitur in geometria. Quædam enim in libro decimo Geometriæ dicuntur lineæ dicibiles sive rationales, quibus positis et datis ratiocinantur. Quædam autem dicuntur indicibiles, sive mutæ et irrationales, quibus positis et datis ratiocinari non possumus. Et hoc modo dividuntur lineæ in decem ordines in geometria, sicut patet intuenti decimum Euclidis : quia hic longum esset ista prosequi : et etiam hic non indigemus eis, nisi quod sciamus quod illa quæ dividunt lineas in geometricis, non possunt dividere lineas indivisibiles, neque convenire eis. Cum ergo illa quæ lineam dividunt ex duobus nominibus sub abcisione sive disjunctione conveniant omnibus lineis : eo quod immedia-

His autem habitis, dicamus primo ad primum respondentes, quod non est necessarium quod dicunt, scilicet quod illud quod sit parvum vel paucum, quod infinitas habeat divisiones partium. Et est instantia eorum dicti in proposito : quia in alio non invenitur in quo instantia fieri posset. Nos enim dicendo de loco et de magnitudinibus sensibilibus quas dicunt esse compositas, quod sint parva et pauca, dicimus quando congruit hoc dicere de quantitate eorum : non tamen dicimus sicut illi, quod hoc sit eo quod habeat paucas partes finitas numero et potentia. Sed dicimus quod habet infinitas potentia, licet paucas habeat actu : et hoc ipsi distinguere nesciverunt. Amplius autem si, ut aiunt illi, in lineis compositis sunt quædam lineæ de his indivisibilibus quas ipsi dicunt esse : tunc de illis indivisibilibus dicitur parvum et paucum, cum tamen in linea illa sint infinita puncta secundum eos actu. Lineæ enim divisio etiamsi non concedatur dividi in lineas, tamen est secundum puncta : et est divisio ejus secundum unam similitudinem secundum qualecumque punctum : quia una est ratio divisionis in quolibet : et ideo secundum quodcumque divisibile est linea : ergo infinitas habebit divisiones linea secundum positionem earum, sicut prius. Omnis autem linea utique non indivisibilis est : et tamen quædam secundum istos dividuntur in parvas, et sunt infini-

<--- Page Split --->

Aller suptæ per divisionem, et tamen paucæ. Superordinatum est jam a nobis omnem lineam dividi, et nullam lineam indivisibilem esse. Ergo nihil est quod dicunt de parvo et pauco.

Amplius omne magnum ex parvis quibusdam componitur : propter quam rationem etiam magnum et parvum non dicuntur opposita esse secundum rem : nihil igitur erit magnum : vel oportet dicere, quod ex prædeterminatis quibusdam parvis sit compositum : et si tunc parvum terminatas divisiones habet, ut dicunt, tunc aut nihil erit magnum secundum eos, aut oportet dicere quod illud non sit magnum quod habet divisiones partium terminatas : quia hæc est ratio parvi secundum eos. Omne enim totum habet partium divisiones sicut et partes habent suarum partium divisiones : et ideo si parva sunt partes magni, tunc oportet quod magnum habeat divisiones partium parvi : divisiones parvi autem sunt finitæ, ut dicunt : igitur divisiones magni sunt finitæ : sed hæc est ratio parvi : ergo parvum est magnum : vel oportet dicere quod magnum non componitur ex parvis, si ipsi dicunt quod rationale est parvum habere partes determinatas et finitas, et magnum quod componitur ex parvo significant habere divisiones partium infinitas : quare manifestum est quod secundum rei veritatem, non potest dici magnum et parvum in hoc quod est determinatas et finitas habere partes, et in hoc quod est habere partes indeterminatas et finitas. Si autem induxit eos ad dicendum in lineis esse parvum ex paucis et finitis partibus esse, et videtur eis hoc esse dignum ad dicendum istud, quod in numeris vident paucum habere partes et divisiones habere terminatas, hoc est stultum : quia non sunt eadem principia generationis ex quibus est discretum, sicut numerus, et ex quibus est continuum, ut linea. In numeris enim ex indivisibilibus unitatibus aggregatis est generatio numeri, et illud impartibile est quoddam determi-

natum in genere discreti : et ideo omnis numerus qui non est infinitus, terminatas et finitas habet divisiones. In magnitudinibus autem non est similis compositio, et ideo in his divisio procedit in infinitum.

Non est autem simile etiam in formis et speciebus quas dicunt Platonici, et tamen illi qui ponunt species esse ideas horum, accipiunt axioma quod est minus forte quam illud quod oppositum est : et secundum quemdam modum interimunt indivisibiles lineas per eadem quae ostendere intendunt eas esse : et e converso per hanc rationem species et ideæ interimuntur : et ita utrumque interimitur per reliquum. Si enim sunt ideæ, ut dicunt, separatæ, illas impossibile est intrinsecas rebus esse : ergo non sunt partes linearum, ut dicunt : et ita per eadem interimunt species, per quæ probare volunt : et e converso, si puncta in lineis sunt indivisibiles partes earum, tunc impossibile est quod sint species ideales eodem modo se habentes : idea enim est una unius : sed unius et ejusdem parvi plures suht indivisibiles lineæ, licet finitæ : et ideo istud axioma nihil habet fortitudinis.

Rursus autem dicere dignum esse, quod indivisibilia quaedam sint prima corporalium elementorum, est stultum : quamvis enim rursus quidam sic enuntient, tamen ad subjectam intentionem, hoc est, propositum, problema sumunt id quod est ex principio. Id enim quod a principio probandum est, hoc est, utrum sint indivisibilia quaedam ex quibus continuum est : et hoc ipsi sumunt in corporalibus elementis esse. Magis est autem contra eos qui quanto magis ipsi sumunt id quod est ex principio, et non possunt probare intentum vera probatione : tanto magis videbitur verum esse oppositum, scilicet quod omne corpus compositum sit et divisibile tripliciter, scilicet secundum linearum longitudines quae sunt in ipso, et secundum molem profundi quod est in ipso, et secundum

<--- Page Split --->

distantiam latitudinis superficiei quae est in ipso.

Zenonis autem ratio non concordat ad propositam intentionem in hoc quod dicit, quod id quod est latum sive motum per spatium, non tangat infinita in tempore terminato et finito. Sic enim et secundum eumdem modum et tempus et longitudo habent se ad esse infinitum, et esse finitum et terminatum, et tantas et tales habet divisiones unum sicut alterum : sicut etiam supra diximus in sexto Physicorum.

Neque etiam utique verum est quod dicunt, quod hoc sit numerare quod est singulum infinitorum tangere secundum mentem, nisi actu tangeret. Tangit enim ea mens in potentia divisionis tantum : et ideo hoc non est ea numerare : quia ea quae numerantur tactu mentis, secundum actum sunt finita. Dubitatio enim est, utrum etiam quis intelliget hoc modo secundum mentem quod contingat infinita. Est enim forte hoc impossibile : sed alibi, hoc est, in tertio de Anima habet dici 1, quia absque dubio nunquam intelligens numerando pertransit infinita. Non enim est motio mentis per intellectum exiens spatium continuum et sibi subjectum super quod moveatur, sicut exigit id quod fertur corporaliter secundum locum : sed potius mentis motio est per intentiones specierum citra. Et si concedatur mens sic pertransire per continuum, hoc est numerare partes numeri secundum actum. Numerare enim est quod est cum scientia rerum secundum actum diversarum. Spatium autem non dividitur nisi potentia.

Sed fortassis inconveniens est quando aliquis non potest solvere rationem aliquam, quod cedat et serviat d<bilibus positionibus quae sunt contra sensum, et quod aliqui velint decipere seipsos contra hoc quod nuntiat eis sensus. Decipiunt enim isti seipsos secundum majores

deceptiones, quam sint illae quas timent, et adjuvant impotentiam suam ut fiat fortior. Quando enim Zeno nescit solvere qualiter id quod fertur, transit spatium prius tangendo medium quam extremum. Et quando Democritus nescit rationem illam solvere, quod prima componentia sint indivisibilia. Negat Zeno motum, quod est majus inconveniens. Et ponit Democritus corpora indivisibilia vel lineas, quod est magis inconveniens quam id quod incidere timet. Qualiter autem solvantur rationes Zenonis, in sexto Physicorum supra scriptum est. Democriti autem ratio in libro Perigeneos habebit solutionem 2. Quod autem objiciunt per geometricas rationes de lineis commensurabilibus, quod scilicet omnes uno et eodem mensurantur, sophisticum est, et nequaquam concordat cum eis quae in mathematicis supponuntur. Non enim sic supponunt mathematici, quod lineae indivisibiles sint quae mensurant lineas commensurabiles : neque utile esset eis ad suas demonstrationes, cum non demonstrent nisi de lineis divisibilibus in lineas. Simul etiam cum dictis et etiam totum contrarium supponunt mathematici, et contrario modo omnem quidem lineam dicunt fieri, hoc est, divisibilem in partes divisibiles. Convenit autem etiam datis lineis indivisibilibus quas ponunt esse propter commensurationem adhuc significare lineam secundum quam commensuratio fit. Non enim probatur in geometricis commensurabilitas linearum per lineam indivisibilem, sed potius per lineam divisibilem in infinitum : et sic inutilis est positio linearum indivisibilium, ex quo positis illis adhuc inquiritur de aliis secundum quas fiat commensuratio. Quare hoc quod dicunt, ridiculum est : quia secundum opinionem eorum etiam ex quibus dicunt dicentes se ostendere, probatur quod a veritate declinant se ad

<--- Page Split --->

Deinde etiam si sunt indivisibiles lineae, inter omnes lineae erunt commensurabiles et communicantes. Omnes enim mensurabuntur ab indivisibilibus lineis, sive longitudine sint commensurabilisive potentia et non communicant- , sine commensurabiles et communicantes. Dicuntur autem lineae communicantes sive commensurabiles in longitudine, ut habetur in X Euclidis, quibus est una quantitas communis eas numerans. Communicates autem et commensurabiles potentia dicuntur, quarum superficiem quadratam una superficies communis numeret. Si autem sunt indivisibiles lineae, ut isti dicunt,omnes erunt commensurabiles, per hoc quod indivisiles lineae, ut isti dicunt, omnes sunt aequales : eo quod una non potest esse major vel minor alia, cum sint indivisibiles : ergo et potentia sunt commensurabiles : quia si quadrata fiat ex eis, numerat superficies illas alia superficies aliqua ex indivisibilibus lineis constituta per hoc quod sit aequalis illis. Si autem hoc detur, tetragonum constitutum ex indivisibilibus erit divisibile: et hoc non est intelligibile, qualiter divisibile componatur ex indivisibilibus. Necesse est autem dividi tetragonum quod aliqua superficie numeratur. Omne enim quod numeratur, dividitur : quia sicut diximus in prehabitis in tertio Physicorum, divisio est causa numeri, quia per numerum cognoscimus divisionem continui.

ductu lineæ indivisibilis in pedalem circumponatur superficiei quadrata : quæ sit ex ductu lineæ bipedalis in soipsam, minorem fœt latitudinem, quam si sola pedalis in se ducta eidem quadratae superficiei circumponeretur : tunc sequitur necessario, quod id quod producitur ab indivisibili linea, minus sit quam impartibile. Et hoc sic declaratur : ponamus lineam bipedalem in se duci, et quadratum ex ea constitui, sicut docetur in secundo Euclidis. Fiat autem aliud quadratum ex ductu pedalis in se, et circumponatur quadrato primo bipedalis lineæ : constat quod constituitur major latitudo ex duobus quadratis sibi circumpositis et conjunctis quam fuerat latitudo unius solius. Est autem suppositio geometrica in secundo Euclidis, quod omnis linea in se et in quamlibet aliam duci potest, et ex producta parallelogramnum constitui. Si ergo aliqua est linea indivisibilis ex indivisibili linea et pedali in se ductis constituetur quadrangula superficies æquidistantium linearum, quæ superficies parallelogrammum vocatur. Cum autem omnes quadrangulæ superficies æquidistantium linearum latitudo tanta sit, quanta est mensura laterum in se invicem ductorum, oportet quod quadrangulum quod fit ex ductu pedalis in indivisibilem lineam, indivisibilis sit latitudinis et nullius : illud autem quod nullius est latitudinis, circumpositum cuicumque quadrato, non facit latitudinem majorem, sed potius minorem quam si sola linea bipedalis in se duceretur : ergo quadratum constitutum ex indivisibili linea et pedali minus est quam ipsa linea impartibilis : quia linea impartibilis ponitur finitæ esse quantitatis et primæ : productum autem nullius est quantitatis. Hoc ita dato, si quadrangulum minorem habet quantitatem quam impartibilis linea, ergo aliquid est minus impartibili : ergo linea impartibilis dividitur : et hoc est impossibile, sicut sæpe in sexto libro Physicorum ostendimus.

Amplius si ex quibuslibet tribus datis

<--- Page Split --->

rectis lineis constituitur trigonum, sicut probatur ex primo Euclidis, tunc etiam ex tribus indivisibilibus constituetur triangulus. Hoc habito procedatur ulterius: quia in omni triangulo isopleuro, hoc est, qui duo æqua habetlatera, cathecus cadit in mediam lineam, quæ est inter duas: quia in eo linea recta vocatur cathecus. Erectam autem dicimus inter inferiorem et superiorem. Hypothenusa autem est descendens a summo catheci, et basis est jacens subtus cathecum: tota ergo hæc dispositio etiam est lineis indivisibilibus trianguli: et hoc est impossibile etiam fingere volenti: quia indivisibile cum indivisibili nullum constituit angulum, nec indivisibile est medium duorum indivisibilium, nec indivisibile erigitur super indivisibile, nec indivisibile inæquale est indivisibili, sicut isopleurus duo habet latera æqualia, et tertium habet inæquale.

Amplius in geometria probatum est, quod si fiat tetragonum, et dividatur per diametrum incidentem tetragonum, illud quadratum quod producitur ex diametro, est æquale quadrato catheci illius trianguli qui fit ex duabus collectis quadrati et diametro et medietate diametri. Totum enim quadratum quod fit ex diametro, est inæquale duobus quadratis, quæ fiunt ex duabus costis quadrati æqualibus, sicut probatur ex penultima et ultima propositione Euclidis: ergo illud quod fit ex medietate diametri, æquale est quadrato unius costæ quadrati: et id quod fit ex altero, æquale est alteri quadrato quod fit ex costa secunda: ergo id quod fit ex una costa et medietate diametri tantum, est sicut id quod fit ex duabus costis quadrati. Si ergo omnia hæc vera sunt, omnia hæc necesse est etiam accidere in quadrato et diametro quæ fiunt ex lineis indivisibilibus, hoc est quod si tetragonum impartibilium laterum componatur, et diameter in eo indivisibilis producatur per lineam incidentem eum per medium, fit cathecus ductus aliquod latus tetragoni, tunc opor-

tet quod costa, hoc est, quadratum costæ possit per æqualitatem in cathecum, hoc est, in quadratum catheci et in medietatem diametri. Utrisque enim quadratis divisim sumptis, et non conjunctim, æquale est quadratum costæ quadrati : et si hoc, tunc linea indivisibilis non est minima : quia expresse quadratum unius majus est quadrato alterius. Quadratum edim diametrum dupli est ad quadratum costæ. Si autem non est minima, tunc neque divisibilis est, neque prima : et etiam si dicatur indivisibilis, tunc non est verum quod duplum sit quadratum quod producitur a diametro ad quadratum alterius indivisibilis, quæ est costa alterius. Si enim dicatur duplum, tunc ablato a diametro et æquali quadrato quod æquatur quadrato costæ, id quod relinquitur erit minus quam prius fuit : fuit autem prius linea indivisibilis : ergo id quod remanet, minus est indivisibili : quod non est intelligibile. Si enim æqualiter æqualia costis addantur diametro, tunc absque dubio quadratum suum erit quadruplum unius laterum : ex se enim est duplum, et ei additur quod est æquale costis : et tunc erit quadruplum ad unamquamque costarum. Hæc igitur sunt impossibilia quæ sequuntur contra hanc opinionem : et de facili poterit aliquis contra eos conducere alia et alia impossibilia infinita : quia omnibus, sicut universaliter dicere possumus, quæ in mathematicis sunt, contrariantur ea quæ isti adversarii veritatis dicunt.

CAPUT IV.

In quo inducuntur contra lineas indivisibiles rationes sumptæ ex natura divisionis.

Possumus autem ad idem aliter adducere impossibilia sumptæ ex his quæ

<--- Page Split --->

sunt de ratione lineæ. Est enim ejus quod est impartibile, non nisi unus, hoc est, secundum unum contactus. Sed linea in duobus contingit : et ideo duos contactus habet, quia linea indivisibilis tangit totum. Indivisibile enim omne si tangit, oportet quod tangat totum, sicut in principio sexti Physicorum probatum est. Sed linea quæ est longitudo inter duo puncta, tangit e contrario : quia secundum duos terminos tangit, et non tota totam. Amplius linea talis est qualem dicunt, opposita alii non facit majorem lineam : eo quod impartibilia composita non faciunt majus aliquid. Linea autem vera composita lineæ facit majus, sicut omne quantum adveniens quanto. Amplius ex duobus impartibilibus nihil potest fieri continuum, ut probatum est in sexto : eo quod omne continuum oportet habere plura in sui natura quam impartibilia. Omnis autem linea una est continua circa indivisibile : quia ad indivisibile continuans et terminans in suis partibus continuatur. Ergo nulla linea una est indivisibilis. Amplius si omnis linea dividitur de indivisibili linea quæ est in ipsa, sive dividatur æqualiter, sive inæqualiter, hoc est, per inæqualia, et non sit linea aliqua ex tribus indivisibilibus, neque universaliter ex superfluis indivisibilibus, sed ex duabus, propter quod ultima divisio stat in duo facta æqualia. Tunc quæramus ab istis, quare dicant lineam indivisibilem esse ? Similiter autem si dicamus lineam dividi in duas partes : eo quod omnis linea composita ex superfluis dividitur : tunc eadem restat quæstio, quare dicunt indivisibiles esse lineas ? et dicitur ex superfluis dividi, quia dividitur in infinitum : eo quod in tali divisione semper aliquid dividendum superfluit divisioni.

Si autem dicant quod non omnis linea dividitur tantum in duas partes, sed illa sola tantum dividitur in duas partes quæ est ex perfectis lineis, hoc est, ex lineis quæ perfectam habent rationem linea-

rum, hoc est, quod sint indivisibiles : tunc adhuc restat quæstio, qualiter aliqua linea sit indivisibilis ? cum sit species quantitatis quæ divisibilis est semper. Linea enim divisa in duas partes, dividetur in ea quæcumque tantum possibile est iterum dividere, sicut evidenter probatur per rationem continui, quæ est, quod continuum est quod dividitur sempiterna et infinita divisione. Sic ergo indivisibilis dividetur, si dabitur quod linea ex perfectis lineis constans dividitur in perfectas lineas, et illæ ulterius, et nunquam stat divisio : ergo indivisibiles lineæ sic dividentur. Si autem dicatur quod linea in duas partes per æqualia divisibilis est, illa quæ constat ex perfectis, tamen illa quæ constat ex imperfectis lineis, quæ sunt elementa perfectarum linearum, et sunt indivisibiles, non potest dividi per æqualia : quia illa habet aliquam perfectam : et ideo dividitur per inæqualia, quia imperfecta linea est semper pars : et est indivisibilis quæ non est æqualis perfectæ, quæ est vel esse potest totum in genere lineæ. Si, inquam, sic dicatur, adhuc restat eadem quæstio, qualiter alia linea sit indivisibilis ? cum enim dividitur per inæqualia, constat tamen quod dividitur per longæva, eo quod omne quod accipitur ex divisione lineæ,linea est : omnis autem linea divisibilis est secundum medium punctum : medium autem punctum non est continuum cum punctis extremis, sed potius potentia est linea quæ distenditur inter extrema puncta : et sic patet manifeste, quod nullo modo rationem reddunt hujus quæstionis, qualiter autem linea sit indivisibilis ?

Rursus ad idem ratione motus objiciemus. Constat enim ex his quæ dicentur in octavo Physicorum, quod si aliquid regulariter motum movetur per spatium aliquod in toto tempore signato, quod in medio illius temporis movetur per medietatem ejusdem spatii, et in ninnori parte temporis illius quam est medietas, movebitur per minorem par-

<--- Page Split --->

tem quam sit medietas spatii : quare siquidem detur longitudo alterius spatii componi ex superfluis indivisibilibus, hoc est, pluribus indivisibilibus quae superfluunt divisioni, tunc non est verum de motu per spatium, sed potius aufertur incisio per medium : quia superfluum quod est pars spatii per divisionem acceptum et est indivisibile, non potest dividi per medium tempore motus diviso. Et bene dico, quod aufertur : quia habitum est quod in medio tempore transit medium : eo quod secundum unam similitudinem, et tempus, et linea super quam est motus, dividuntur. Cum igitur inconveniens sit hoc, ut in sexto Physicorum ostendimus, neque una oppositarum linearum dividetur modo prædicto, hoc est, per æqualia quæ sunt perfectæ lineæ, et per inæqualia vel quæ sunt elementa linearum, constat jam per dictam rationem, quod sicut in se non dividuntur modo prædicto lineæ, ita etiam non dividuntur temporum motus divisione : ergo nullæ erunt indivisibiles lineæ. Quæ autem ejusdem rationis sunt inter species quantitatis continuæ secundum genus suum, convenit omnia facere ex impartibilibus linies. Licet enim impartibilis linea componat lineam perfecctam, tamen quia dicunt lineam perfectam componere planum, et planum dicunt componere corpus, ideo convenit necessario, quod hæc omnia sicut ex primis componentibus sint ex impartibilibus lineis : et ideo hoc per istam considerationem objiciemus contra eos. Dico ergo primo sumens rationem ex linea et sibi propriis, quod omnis linea non infinita duos habet terminos : eo quod linea his terminis terminata est, sicut patet ex diffinitione lineæ : indivisibilibus autem linea non est infinita : ergo habebit terminum duplicem in extremis : ergo aut est divisibilis, quia terminus semper est alterius quam sit terminus, est enim continuæ

longitudinis : aut oportet dicere, quod erit alia linea quæ est præter hanc quam videmus lineam, quæ neque infinita est, neque terminata : et hoc est figmentum quod imaginari non potest neque esse : quia non terminatum vel terminatum esse contradictionis modo opponuntur circa lineam.

Amplius secundum dicta non erit in omni linea punctum, quia in indivisibili linea non est punctum : eo quod indivisibilis non est indivisibile : quia iretur in infinitum. Et siquidem sic dicatur, quod non est punctum terminans lineam indivisibilem, tunc necessario sola seorsum existet linea talis : et deinde separatum etiam existet punctum : una enim erit sola secundum hoc linea. Pluralitas enim omnis provenit, aut ex divisione formali, aut ex divisione continui 1. Ex divisione autem formali provenit, sicut differentiae sunt plures et formæ plures in eodem genere. Ex divisione auten continui provenit sicut individua plura sunt in eadem specie. Si autem linea fingatur esse sine puncto, tunc neutro modo habebit pluralitem, quia linea aliena non differt formaliter : nec linea potest dividi aliena divisione continui, quia linea non est divisibilis nisi in puncta : et jam ponitur ex puncto esse universaliter separata : ergo erit sola et unica. Si autem plures sint lineæ, tunc oportet per jam dictam rationem, quod divisibilis sit linea. Adhuc autem siquidem in indivisibili linea dicatur non esse punctum, tunc sequitur universaliter in nulla linea esse punctum secundum istos : quia ipsi dicunt alias lineas ex indivisibilibus constare, et nihil amplius componere essentias earum nisi lineas indivisibiles : et hoc est inconveniens. Amplius autem nihil omnino de genere continui erit intermedium punctorum, aut oportet quod linea sit medium : quia inter duos terminos non

<--- Page Split --->

oportet aliquid intelligi esse nisi terminatum. Si autem hoc detur quod linea est intermedium punctorum, cum in omni linea sint plura puncta secundum rei veritatem et probationem jam inductam, non potest aliqua linea esse indivisibilis : quia secundum omne punctum divisibilis erit. Amplius si sunt lineæ indivisibiles, non omnis lineæ erit tetragonum, quod est inconvenientissimum, cum omnem lineam contingat in se duci, et sic necessario una posita linea tetragonum generari. In hac enim generatione simplicius est tetragonum quam trigonum. Si autem tetragonum, tunc necessario sequitur quod sit dicendum, eo quod longitudinem habet et latitudinem : quia hoc quidem tetragonum est hoc aliquid quod est indivisibile esse, propter suas essentiales dimensiones. Si autem tetragonum est divisibile, tunc necessario etiam linea ex qua generatur erit divisibilis : quia tetragonum non habet longitudinem et latitudinem, nisi ex longitudine lineæ ex qua generatur. Amplius constat quod terminus lineæ necessario erit punctum et non linea : quia si linea esset terminus lineæ, oporteret ire in infinitum : unde linea non erit terminus. Illa autem linea quæ est extremum per hoc quod ponitur indivisibilis simpliciter, cum omne indivisibile simpliciter terminus sive extremum sit, est linea indivisibilis : ergo si illa linea, habebit punctum : et si est indivisibilis omnino, non differt a puncto : ergo punctum erit terminus puncti indivisibilis. Et sequitur etiam quod linea punctum, hoc est, quæ est punctum, sit minor vel major linea puncto : quia terminatum majus est termino : ipsa autem et terminus est et terminatum. Si autem dicatur, quod lineæ indivisibili inest punctum, propter hoc quod unum et idem est terminus continuantium, hoc est, continuitatem habentium linearum, tunc oportet etiam quod indivisibili lineæ non sit punctum, cum supponatur esse continua. Et universaliter loquendo,

oportet quod in aliquo differat punctum a linea : quia secundum istos nihil habebit proprium indivisibilis linea per quod differat a puncto, præter nomen solum : et hæc omnino inconvenientia sunt. Amplius si linea dicatur indivisibilis, tunc similiter planum manet indivisibile: et similiter corpus ex planis compositum est indivisibile. Uno enim istorum ente indivisibili, oportet quod consequenter omnia alia sint indivisibilia, propter hoc quod si unum istorum dividitur, utrumque aliorum consequenter sequitur dividi. Corpus autem secundum utramque divisionem scilicet lineæ et plani quæ sunt in ipso, dividitur, et secundum profundum et secundum latum : ergo utique linea erit indivisibilis. Corpus enim secundum planum, ut isti dicunt, dividitur. Planum autem dividitur secundum lineam, et ulterius linea dividitur secundum punctum. Corpus enim non secatur nisi in superficie, et superficies in linea, et linea in puncto, propter hoc quod unumquodque in suo indivisibili dividitur : corporis indivisibile est planum, eo quod non dividitur ratione corporis in profundum : et plani indivisibilis est linea, eo quod dividitur divisione plani in latum : et lineæ indivisibile est punctum, quia non dividitur omnino aliqua divisione. Linea autem dividitur divisione una, et planum duabus, et corpus tribus.

CAPUT V.

De probationibus quod linea non componatur ex punctis.

Quia autem et rationes eorum quæ in principio inductæ sunt, per quas conantur ostendere et suadere suum propositum, debiles sunt, et super falsas propo-

<--- Page Split --->

sitiones fundatae, et oponiones eorum sunt omnes contrariae his qui possunt contingere ad finem secundum quod opinio juvata rationibus fit fides, manifestum est utique quod nulla erit linea indivisibilis, etsi nulla alia ratio in oppositum adduceretur. Et hoc quidem manifestum est ex supra dictis, ubi et rationes eorum et instantiae rationum suarum sunt positae. Ulterius igitur hic manifestabimus, quod non utique ex puncto erit indivisibilis linea : hoc enim erit nobis facile hic ostendere : quia plurimae rationum inductarum contra lineas indivisibiles fere eadem congruent etiam ad hoc quod lineae indivisibiles non sunt ex punctis : non enim oportet variare nisi nomen : quia linea indivisibilis et punctum non nisi nomine differunt, sicut ostensum est in praecedenti capitulo. Si enim linea componatur ex punctis, et omne quod componitur ex aliquo dividitur in illud ex quo compositum est, necessarium est dividi punctum : pars enim afferens quantitatem lineae est punctum,sicut linea componitur ex punctis : omne enim quod est quantum ex suis partibus habet quantitatem : pars autem afferens quantitatem toti, divisibilis est : ergo punctum est divisibile, si linea dividitur in punctum. Dividitur autem linea in punctum dupliciter, scilicet cum divisio fit per inaequalia ex superfluis lineis, hoc est, ex lineis quae superfluunt divisioni, et in quibus stat divisio : et illae sunt lineae primae indivisibiles in puncta, ut dicunt : vel cum fit divisio per inaequalia, quando fit divisio ex perfectis et compositis lineis : quia etiam illa divisio tandem sicut in ultimo stat in puncto. Sequitur etiam ex hoc, quod si linea est ex punctis, quod ultima pars lineae non est linea, sed potius punctum, et similiter ultima pars corporis non erit corpus, sed omnia sicut in ultima parte resolvuntur ad puncta. Sequitur etiam ex dicta positione, quod linea indivisibilis

sit major linea puncto, hoc est, linea cujus quantitas non excedit punctum : eo quod est indivisibilis : erit enim necessario indivisibili indivisibile majus : quia id quod componitur ex aliquo, et est totum majus sua parte componente. Si ergo linea indivisibilis componitur ex punctis, ipsa erit major, et sic indivisibile erit majus indivisibili. Ex hoc autem sequitur quod indivisibile non sit indivisibile, quia omne majus compositum est ex tanto quantum est id ex quo majus est, et ex pluri quo excedit ipsum. Quod autem hoc sit impossibile, patet etiam ex rationibus quæ in mathematicis inducuntur, ubi supponitur indivisibile esse, cujus pars componens nulla est.

Adhuc autem et ratione physica accidit punctum in tempore esse : quia dicunt punctum esse quod fertur. Si enim punctum sit pars quanti, tunc quanto moto movetur etiam punctum per accidens : sed, ut in principio quinti Physicorum habitum est1, quod movetur per accidens, sicut pars ejus quod movetur, movebitur per se, si separetur a toto : ergo punctum potest moveri per se : et quia omne quod movetur, in tempore movetur : et erit motus puncti in tempore : movebitur ergo per spatium majus in pluri tempore et spatium æquale inæquali. Et ex hoc sequitur, quod punctum sit divisibile, cum omne quod movetur sit divisibile,sicut in VIII Physicorum declaravimus2. Sed quia ibi diximus,quod hoc modo solo convenit indivisibile moveri si tempus sit ex nunc, forte isti dicent etiam tempus ex nunc esse, et ejusdem rationis est dicere ambo ista. Si utique concesserint, quod nunc est principium et terminus temporis, et linea etiam puncti sicut principii et termini sui. Sed quod hoc sit falsum, probatur ex hoc quod duo indivisibilia quorum unum est principium, et alterum terminus, non sunt ad invicem continua : sed habent

<--- Page Split --->

aliquod continuum intermedium, sicut in principio sexti Physicorum probatum est: ergo utique neque duo nunc quorum unum est principium, et alterum terminus, neque duo puncta quorum unum est principium, alterum terminus erunt ad invicem continua.

Amplius omnis linea est magnitudo quaedam : punctorum autem multorum compositio non facit aliquam magnitudinem : eo quod nullum eorum habet divisionem quae majorem requirat locum quando composita sunt multa : hoc probatur ex simili : quia si linea componitur ad lineam, et superponitur ei congruenter, ita quod una non distet ab alia, nunquam fiet ex lineis sic sibi conjunctis alia latitudo, eo quod linea omni latitudine caret : ergo a simili etiam puncta, quae insunt in linea illa, utique puncta non retinebunt ampliorem locum, propter hoc quod nullius sunt quantitatis : quare utique non facient puncta aggregata magnitudinem aliquam.

Amplius si omnia puncta tangunt omne punctum, quando congregantur in unum locum, tunc necesse est quod punctum tangens punctum, aut totum tangat, aut aliquid puncti, sicut pars tangit aliquid alterius puncti quod est pars ejus, aut totum tangat aliquid vel partem : quam divisionem etiam in principio sexti Physicorum prosecuti sumus 1 : et sicut ibi probavimus, punctum non potest tangere, nisi totum tangat totum : eo quod partem non habet cum sit impartibile. Sed omne totum tangens totum, necesse est idem esse cum ipso quod tangitur ab ipso : quia si totum tangit totum, nusquam distat ab eo : et quod nusquam distat ab aliquo quod est ejusdem naturæ et rationis cum ipso, idem est illi, cum nec forma, nec loco distinguatur : ergo punctum tangens punctum, idem erit cum puncto toto. Si enim detur punctum aliquod esse non tactum, aut etiam

utrumque puncti, hoc est, utraque pars puncti, si partem habeat non esse tactam, tunc absque dubio totum non tangit totum, sed utrumque istorum est impossibile : quia per hoc quod aggregata ponuntur esse puncta, non est aliquid punctum seorsum distinctum ab alio : et per hoc quod est indivisibile punctum, non habet utrumque, quia non dividitur per medium : et ideo necessario totum tangit totum. Si autem simul sunt modo praedicto impartiabilia puncta, eumdem retineit locum, et ejusdem quantitatis est locus nunc qui plura puncta habet in se, et qui prius antequam congregarentur, habuit tantum unum punctum : retinet enim ille locus extensionem entium simul punctorum, et extensionem non entium simul punctorum : et secundum hoc idem est ambobus locus. Impartibile autem non habet aliam distantiam secundum locum. Sicut enim dictum est in quarto Physicorum 2, neque unam inveniet aliquis distantiam puncti et loci puncti : ergo utique nulla erit magnitudo continua ex impartibilibus. Omnes enim partes continuæ magnitudinis distantias habent locales : et impossibile est plures ejusdem magnitudinis partes in loco unius partis esse : non ergo componitur linea ex punctis, neque tempus per rationem consimilem componitur ex nunc.

Amplius si magnitudo est ex punctis, absque dubio punctum tangit punctum : quia probavimus in sexto Physicorum 3, quod in mathematicis finis tactus continuum est : et quæcumque continua sunt, tangentia sunt, sed non convertitur. Ponamus igitur quod punctum unum de congregatis sit k, et per præcedentem rationem omnia alia puncta congregata erunt in eodem loco cum ipso : ex puncto igitur k quod signavimus, extrahamus per circulum distinguendo punctum A et punctum B, et iterum punctum c et punctum D. Si igitur posuerimus et conces-

<--- Page Split --->

serimus, quod c d puncta tangunt r, eo quod sunt in eodem loco proprio cum ipso, tunc etiam oportet concedere quod punctum quod est a r tanget r, et etiam illud quod est in eo quod est r d punctum tanget idem k : ergo et alio quodam quocumque voluerimus puncto fiet idem contactus, sicut diximus de k, quod omnia puncta tangunt inter quæcumque puncta accepta. Jam enim ostendimus, quod necesse est quod impartibile totum tangat totum : ergo omne punctum tangens r punctum habebit eumdem locum cum ipso r puncto : et similiter omnia tangentia puncta erunt in eodem loco cum tacto puncto : et e converso etiam sequitur, quod si sunt in eodem loco, quod tunc tangent se. Magnitudo igitur tota quæ estarcdcum non sit nisi punctorum compositio, est in loco indivisibili unius puncti, quod est maximum inconveniens. Et hæc figura debet sic scribi, quod lineaarcdsicut hic vides eam, sint puncta aggregata, quorum nullum distare a loco alterius convincitur per rationem præcedentem.

Deinde sequitur adhuc magis impossibile. Sic enim sequitur, quod linea recta tangat aliam lineam rectam, non secundum unum punctum, sed secundum duo vel plura puncta. Resumamus igitur dictam magnitudinem quæ estarcd : tunc enim punctum quod est in parte magnitudinis quæ est a r, et punctum quod est in parte magnitudinis quæ est r c tangit etiam alterum punctum quod est in fine magnitudinis sive in parte ultima : et si tangit alterum, tunc tangitur etiam ab altero : quia omne tactum tangitur a tangente : ergo punctum quod est ex c d parte ultima magnitudinis non tangit secundum unum punctum,sed tangit secundum plura puncta se tangentia et facta ab ipso : ergo cum linea recta tangit lineam in extremo sui, utraque tangit secundum plura puncta : et hoc impossibile est, cum tactus sit secundum ultimum, et ultimum lineæ in parte una non sit nisi unum. Eadem autem ratio est quantum ad in-

conveniens prædictum; etiamsi non ponamus lineam tangere lineam, ita quod tactus sit per tactum ad invicem in extremo, sed tangat etiam qualitercumque, sicut tangit linea lineam, quando qualitercumque stat super ipsam, vel aliqualiter applicatur lineæ linea . Amplius secundum dicta sequitur , quod etiam punctum quod est circuli circumferentia designatum, tangit rectam lineam, et secundum plura puncta. Id autem quod rectum est in circumferentia a puncto tangente : et id quod contactum est in tota linea tangente tangit totum : et hoc ad invicem : quia si circumfrentia componitur ex punctis quæ non distant per locum, sicut et linea, tunc uno puncto circumferentiae tangente quodlibet tangit. Et similiter est de punctis rectæ lineæ : et ideo puncta circumferentiae tangunt ad invicem : et puncta rectæ lineæ : et e converso puncta rectæ lineæ tangunt ad invicem, et puncta circumferentiae : et hoc est impossibile imaginari, cum linea recta circulum non tangat nisi in puncto uno secundum rei veritatem. Si ergo hoc est impossibile, et sequitur ex suppositione, tunc etiam impossibile est quod punctum tangat punctum in componenda magnitudine. Si autem impossibile est punctum tangere punctum, tunc etiam sequitur quod nec linea sit materialiter punctum, quia necessarium est quod punctum non tangat punctum : et ideo linea non componitur neque continuatur ex punctis.

Amplius qualiter posset assignari ratio secundum dictam positionem, quod aliquando sit linea recta ex contactu punctorum, et aliquando sit linea circularis ex contactu eorumdem punctorum : nullam enim habet differentiam contactus punctorum : eo quod omnia contingentia se puncta non faciunt distantiam secundum situm in magnitudine, neque circulariter, neque recte : unde contactus punctorum nihil omnino differt, neque in linea recta, neque in perfecta. Impartibile enim totum tangit impartibile : et jam probatum est,

<--- Page Split --->

quod non convenit totum tangere : quia ex contactu nusquam producitur extensio aliqua magnitudinis. Si igitur sunt differentes, quod una est recta, et alia circularis, contactus autem indifferens, non erit utique linea ex contactu punctorum : ergo neque ex punctis erit linea.

Amplius si linea est ex punctis, aut erit ex punctis tangentibus se, ita quod illud quod est ante in linea, tangat id quod est ante deinceps : aut erit ex punctis non tangentibus sic se ad invicem. Et siquidem necessarium est, quod punctum anterius tangat id quod est deinceps in linea, tunc erit ex punctis sese tangentibus, et ex contactu punctorum : et tunc erit eadem ratio quae prius inducta est scilicet qualiter differenter lineae secundum formam generantur ex indifferenti contactu punctorum. Si autem in linea convenit aliquod punctorum qui sunt post primum punctum, deinceps in linea non est tangens, neque tactum cum aliis punctis : cum nos nihil aliud dicimus continuum quam quod ex aliquibus sese tangentibus in termino uno : oportebit et sic puncta tangere ad invicem, vel ipsa puncta esse lineam continuam ex tali contactu : et hoc est contra hypothesim, quia positum erat quod non essent tangentia.

Amplius si inconveniens scientia sive conceptio est, quod punctum sit linea : et si inconveniens sit scientia sive conceptio, quod linea sit planum : tunc impossibile est hoc quod dicunt : sive enim puncta in linea deinceps ponantur esse sine motu, sive deinceps esse ponantur, ita quod sit inter ea tactus, semper sequitur inconveniens. Si enim sint deinceps sine motu, tunc non sunt continuæ : sed dividentur lineæ, et dividentur quidem secundum neutrum punctorum, sed potius inter medium quod est inter puncta sese non tangentia. Si autem se tangunt, tunc sicut ex superioribus probatur, tota magnitudo lineæ non erit nisi regio unius puncti. Utrumque autem horum est impossibile.

Amplius si linea est ex punctis, tunc omnia dividentur et resolventur in punctum : et punctum erit prima pars corporis. Si corpus quidem est planum aggregatum in corpus, et planum est ex lineis. Si autem sic est, quod singula sunt composita ex his quæ primum insunt illis, hoc est, quæ primitus veniunt in compositionem eorum, tunc hæc puncta erunt elementum omnium aliorum : ergo puncta erunt elementa corporum : ergo cum puncta sint unius rationis, erunt necessario elementa univoca et non altera secundum rationem et speciem : et tunc omnia quæ sunt ex ipsis, erunt unius rationis, quod est maximum inconveniens. Manifestum est igitur ex dictis, quoniam non est linea ex punctis.

CAPUT VI.

Quod punctum per divisionem non aufertur ex linea.

Ostendemus autem deinceps, quod punctum non potest auferri per divisionem ex linea : et tunc omnino manifestum erit, quod linea non est ex punctis. Si enim esset ex punctis, tunc punctum per divisionem posset auferri de linea. Dicimus igitur quod non convenit per divisionem punctum auferri de linea. Si autem detur quod manifestatur punctum seorsum a linea divisum, tunc etiam oportet concedere quod convenit apponi ad lineam. Omne enim quod dividitur, ex aliquo iterato potest componi cum eodem. Quod autem componitur cum aliquo , necesse est ex his duobus posse componi quoddam totum. Composito autem toto, necessario totum illud majus erit non ex principio composito, hoc est, ei ex principio non erit compositum, si tale sit quod componitur cum aliquo ad totius

<--- Page Split --->

alicujus constitutionem : quare absque dubio convenit ex his duobus unum totum facere, et unum totum ex his duobus sic facere, nihil aliud erit nisi quod linea composita sit : fit tunc major linea puncto, hoc est, linea et puncto divisim acceptis : hoc autem impossibile est, quia punctum nullam aufert quantitatem : ergo non convenit per divisionem punctum a linea separare.

Sed forte diceret aliquis, quod per se et secundum seipsam essentialiter non convenit lineam in puncta separare, sed secundum accidens bene quidem convenit punctum auferre a linea. Aufert enim se invicem linea , et punctum in ablata linea, si toto ablato quod est linea, principium et finis aufertur : et conceditur quod aptum est secundum materiam , lineae principium et finis etiam punctum est lineae : et his ablatis in ablata linea convenit etiam auferre punctum : quia ablata linea aufertur punctum quod est in linea. Hæc autem ablatio est secundum accidens : et de hac non loquimur, quia de ista non probatur quod linea dividatur in puncta. Si autem ponatur separari a linea ut terminus indivisibilis in quo stat divisio, tunc dicitur ab istis tangere lineam. Et si tangat, tunc sequitur quod neque terminus est, sicut in sexto Physicorum probatum est 1 : omne enim tangens tangit secundum aliquid aliud quam ipsum sit : et ideo si terminus tangit, tunc terminus habet aliud quam ipsum secundum quod tangit : et tunc non est terminus, quia necessario est divisibilis, cum omnis terminus indivisibilis sit : et si non est terminus, tunc non est terminus ipsius vel eorum quorum dicebatur esse terminus. Punctum autem quod est terminus secundum istos veritatis adversarios, tangit lineam : et sic sequitur, quod non sit terminus. Si igitur hoc quod dico, linea ponitur esse materialiter punctum : sic linea erit major puncto : et hoc est inconveniens, cum secundum

hoc punctum habeat quantitatem qua lineæ quantitas major est . Punctum enim qui est materia lineæ secundum istos est ex omnibus punctis quæ sunt in linea. Quia tamen dicunt, quod omnia puncta se tangunt, et tangentium nihil est intermedium , sequitur quod regio omnium punctorum est regio unius puncti : quorum est una sola regio, illa sunt unum : tunc sequitur quod omnia puncta sunt unum : ergo linea est unum punctum. Eadem omnino est ratio in divisione, si divisio, hoc est, relictum ex divisione sit punctum , et concedatur quod divisio illa tangit aliquid et in firmo et plano. Secundum unam autem similitudinem ponatur firmum esse ex planis, et planum ponatur esse ex lineis : tunc enim necessario sequitur omnia hujus corpora esse unum et idem punctum, sicut est autem verum dicere secundum punctum , quod sit minimum . Adhuc est minimum in minimum eorum, hoc est, in minimam rationem eorum quæ sunt de his quæ ex linea sunt, ex quibus ipsa linea componitur : et sunt de his quæ insunt lineæ ut aliqua pars lineæ existentia. Minimum autem dicitur minus his quorum ipsum est minimum. In linea autem nihil aliud dicitur esse quam punctum, cum tamen secundum veritatem linea insit lineæ : et ideo linea non est major puncto, quia punctum non est aliquid lineæ, sed terminus ejus : neque enim planum dicitur majus linea, cum linea non sit aliqua pars plani, sicut neque planum minimum est corporis : oportet enim quod comparabilia sint univoca in eo in quo comparantur : ergo patet ex dictis, quod punctum non erit minimum lineæ : ergo neque per divisionem aufertur ab ipsa linea. Minus enim et minimum accipitur per divisionem ex eo cujus est minus. Si autem punctum sit aliquid compositum vel appositum lineæ, ut dictum est, et minimum ad minus est in tribus personis sive individuis, oportet

<--- Page Split --->

enim quod punctum et minus sit ejusdem naturae cum minimo : tunc non potest punctum esse minimum linea , sive eorum quae sunt in linea, sicut aliqua pars linea existentia. Similiter autem est de aliis quaecumque insunt circa puncta et lineas in longitudine. Ex omnibus illis colligitur, quod non est longitudo aliqua ex punctis. Si autem dicatur quod punctum est aliquid ens in loco, tunc oportet quod ex punctis quae sunt in loco sit aliquid quod sit longitudo, vel planun, vel firmum. Ea autem ex quibus est linea, illa sunt in loco : etenim ipsa sunt linea : quia id quod est in loco, distensionem habet in finem in loco : et ideo puncta quae sunt in loco, distensionem habent : et ideo facere lineam possunt. Si ergo concedatur cum hoc, quod neque corpus inest linea, neque planum, neque aliquid compositum ex his : tunc sequitur necessario, quod vel universaliter circa lineas et puncta ex eis est in alia longitudine : quia si concedatur punctum esse in loco, absque dubio erit corpus : et si non erit corpus, non erit in loco : quia non habebit tumorem, et sic non habebit longitudinem. Et sic sequentur opposita : si enim sunt in loco, tunc sunt lata, profunda, et longa : et sic componetur ex eis longitudo, et caeterae dimensiones : et si non est in eis aliqua dimensio lati et profundi, tunc non sunt in loco, et per consequens non erit ex eis longitudo vel aliqua dimensio.

Amplius autem si in loco ente vel demonstrato est longitudo quae dicta est esse major, quae est superficies, vel firmum sive corpus : punctum autem est de numero eorum quae sunt in loco in longitudine existens quae est circa puncta vel lineas quae componunt longitudinem, vel est praedictorum quae sunt in loco : ergo punctum non erit minimum eorum quae sic sunt in loco, et insunt eis : quia aliter corpora et plana quae sunt in loco, resolverentur ad puncta existentia in

loco : et puncta taliter in loco existentia essent corpora, sicut dictum est.

Amplius si punctum indivisibile erit minimum in linea quod per divisionem accipitur, tunc erit tale sicut in quod reducitur etiam minimum quod eorum quae sunt in domo, ad quod tamen domus componentia per comparationem non dicuntur : quia si diceretur ad ipsum, tunc oporteret esse univocationem in ipso in quo comparantur, hoc est, in quantitate. Similiter autem est in aliis quae componuntur ex partibus, a quarum quantitate est quantitas eorum : ergo etiam id quod est in linea minimum, sicut punctum, ut dicunt, erit ad lineam comparatum. Hoc autem est inconveniens : omne enim per divisionem acceptum in continuo minus est toto et comparatur ad ipsum : quare non congruet punctum dicere quid minimum per divisionem extractum de linea : quia in simili quod non est ens in domo, ut aliqua pars componens domum, non erit eorum quae sunt in domo minimum : et similiter est in aliis quae componuntur ex partibus. Convenit autem lineam ipsam secundum seipsam esse, hoc est, in quantum est linea : et tunc necessario habet aliud esse quam esse punctorum congregatorum : tunc pars linea linea erit, et quælibet erit divisibilis : ergo si considerata linea nihil erit accipere per divisionem indivisibilem in linea, ergo simpliciter et absolute minimum non erit in ea : secundum hanc ergo lineam non erit verum dicere, quod aliquid sit in linea minimum in quo stet divisio, quia quolibet accepto per divisionem, est accipere minus : et hoc procedit in infinitum.

<--- Page Split --->

CAPUT VII.

Quod punctum non habet analogiam cum articulo.

Articulus quid. Artículos enim dicitur minimum in cor- pore composito in quo diversa articulan- tur et quasi colliguntur : secundum hanc igitur rationem articuli dicemus,quoniam generaliter punctum in continuo articu- lus dici non potest. Articulus enim sem- per duorum est terminus quae in ipso arctantur : punctum autem unius lineae terminus est : et ideo punctum cum ar- ticulo non generaliter habet similitudi- nem. Amplius punctum secundum hoc quod actu est in ratione indivisibile, ma- gis habet rationem termini quam divisio- nis : sed e converso articulus magis habet rationem divisionis quam termini : na- tura enim in fine et extremitate ali- quando non constituit articulum, sed in medietatibus inter extrema : sed pun- ctum semper est finis lineae . Amplius lineae et planum habent magis rationem articulorum quam punctum : quia habent aliquid analogum, hoc est, secundum proportionem similitudinis dictum ad articulum. Articulus enim est aliqualiter differentia, hoc est, in quo differentia colligantur, sicut linea est inter pun- ctum et planum, et planum inter lineam

et corpus : punctum autem et corpus sunt sicut extrema : et ideo habent analogiam cum articulo. Propter quod et Empedocles recte fecit articulum, propter quod et oportet facere ipsum. Dixit enim, sicut apparet ex suis sermonibus, quod in primo mixto capita germanorum erant sive cervice, et similiter alia non colligata erant et conjuncta, quae postea per amicitiam ordinata et articulata sunt diversis convenientibus per concordiam in constitutionem unius et ejusdem : et ideo articulus concordat diversa : sed punctum est eorum quae sunt unius lineae, sicut sunt partes continui terminatae ad punctum : et ideo patet ex dictis Empedoclis, quod punctum non habet analogiam cum articulo.

Sed forte objiciet aliquis, quod est in linea punctum secundum quod est divisio lineae, quod signum proprie vocatur vel divisio : et ille videtur habere cum articulo analogiam. Sed hoc citius solvi- tur : quia punctum dividens non est nisi potentia : articulus autem dividit actu et connectit quae actu divisa supt. Punctum autem etiam est in his quae non habent motum, sive omnino abstracta sint a motu, sicut mathematica : sive non ha- beant motum a seipsis, sicut habent mo- tum animalia. Articulus autem non est nisi in corporibus ad motum ordinatis : unde et propter motum formatur articu- lus, sicut in libro de Motibus animalium dici debet. Adhuc nullus habet infinitos articulos actu vel potentia in corpore toto vel in parte corporis, sicut in manu : puncta autem potentia sunt infinita, eo quod non fit divisio nisi in puncto, et divisio vadit in infinitum. Amplius lapi- dis et alterius homogenii in partibus ar- ticulus nullus est : puncta autem habet lapis, sicut et quodlibet homogenio- rum.

<--- Page Split --->